Seja T um operador linear sobre um espaço vetorial de dimensão n.
(a) Defina autovalor de T.
(b) Se lambda é autovalor de T, então 2 lambda é autovalor de 2 T.
(c) Se lambda é autovalor de T, mostre que lambda^2 é autovalor de T^2=T circ T.

Passo 1

O enunciado dá um operador linear Tcolon Vto V num espaço vetorial de dimensão n e pede:
– (a) definir o que é um autovalor de T;
– (b) mostrar que, se lambda é autovalor de T, então 2lambda é autovalor de 2T;
– (c) mostrar que, se lambda é autovalor de T, então lambda^2 é autovalor de T^2=Tcirc T.
Vamos usar a definição de autovalor e as propriedades de operadores lineares.

Passo 2

Definimos autovalor de T assim:
lambdainK é autovalor de T se existe vetor não-nulo vin V tal que
T(v)=lambda,v

Passo 3

Prova de (b): suponha lambda autovalor de T e vneq0 com T(v)=lambda v. Então
(2T)(v)=2,T(v)=2,lambda,v=(2lambda),v,
logo 2lambda é autovalor de 2T com o mesmo autovetor v.

Passo 4

Prova de (c): usando o mesmo vneq0 com T(v)=lambda v, temos
T^2(v)=Tl(T(v)r)=T(lambda v)=lambda,T(v)=lambda(lambda v)=lambda^2,v
Assim lambda^2 é autovalor de T^2 com autovetor v.

Resposta

(a) lambda é autovalor de T se existe vneq0 tal que T(v)=lambda v.
(b) Se lambda é autovalor de T, então 2lambda é autovalor de 2T.
(c) Se lambda é autovalor de T, então lambda^2 é autovalor de T^2.

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