Seja
um operador linear sobre um espaço vetorial de dimensão
.
(a) Defina autovalor de
.
(b) Se
é autovalor de
, então
é autovalor de
.
(c) Se
é autovalor de
, mostre que
é autovalor de
.
(a) Defina autovalor de
(b) Se
(c) Se
Passo 1
O enunciado dá um operador linear
num espaço vetorial de dimensão
e pede:
– (a) definir o que é um autovalor de ;
– (b) mostrar que, se é autovalor de
, então
é autovalor de
;
– (c) mostrar que, se é autovalor de
, então
é autovalor de
.
Vamos usar a definição de autovalor e as propriedades de operadores lineares.
– (a) definir o que é um autovalor de
– (b) mostrar que, se
– (c) mostrar que, se
Vamos usar a definição de autovalor e as propriedades de operadores lineares.
Passo 2
Definimos autovalor de
assim:
é autovalor de
se existe vetor não-nulo
tal que
Passo 3
Prova de (b): suponha
autovalor de
e
com
. Então
logo
é autovalor de
com o mesmo autovetor
.
Passo 4
Prova de (c): usando o mesmo
com
, temos
Assim
é autovalor de
com autovetor
.
Resposta
(a)
é autovalor de
se existe
tal que
.
(b) Se é autovalor de
, então
é autovalor de
.
(c) Se é autovalor de
, então
é autovalor de
.
(b) Se
(c) Se