Resolva o problema de valor inicial.
d) x^{2} y^{\prime}+2 x y=\cos x, \t y(\pi)=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
x^{2}y' + 2x\,y = \cos x
com condição inicial y(\pi)=0.
Conteúdo: equação linear de primeiro ordem. Vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Colocamos em forma padrão dividindo por x^{2} (válido para x\neq0, e como \pi\neq0 tudo bem):
y' + \frac{2}{x}y = \frac{\cos x}{x^{2}}.

Passo 3

Calculamos o fator integrante
\mu(x) = \exp\!\Bigl(\int \frac{2}{x}\,dx\Bigr) = \exp(2\ln|x|) = x^{2}.

Passo 4

Multiplicamos a equação por \mu(x)=x^2, obtendo
x^{2}y' + 2x\,y = \cos x \quad\Longrightarrow\quad \bigl(x^{2}y\bigr)' = \cos x.
Integramos em x:
x^{2}y = \int \cos x\,dx = \sin x + C.

Passo 5

Isolamos y e aplicamos y(\pi)=0:
y(x) = \frac{\sin x + C}{x^{2}}, \qquad 0 = y(\pi) = \frac{\sin\pi + C}{\pi^{2}} = \frac{0 + C}{\pi^{2}} \;\Longrightarrow\; C=0.

Resposta

y(x) = \frac{\sin x}{x^{2}}.

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