Para as funções dadas, sejam e . Construa polinômios interpoladores de Lagrange de grau 1 e grau 2 para determinar uma aproximação de e encontre o erro absoluto.
b)
Passo 1
Beleza, o que a questão pede é o seguinte: usando os pontos
e a função ,
a gente vai montar dois polinômios de Lagrange – um de grau 1 (reta) e outro de grau 2 (quadrático) – para aproximar . Depois, mede o erro absoluto, que é .
Conteúdo envolvido: interpolação polinomial de Lagrange e cálculo de erro. Vamos precisar calcular valores de nos nós, montar as fórmulas de Lagrange e fazer umas contas.
Passo 2
Primeiro, calcula f(0)&=raiz1+0=1, f(0,6)&=raiz1,6approx1,264911064, f(0,9)&=raiz1,9approx1,378404875, f(0,45)&=raiz1,45approx1,204159457 nos pontos dados e também no ponto de interesse :
Esses valores são a base pra construir o polinômio de Lagrange.
Passo 3
Agora o polinômio de grau 1 (reta) usando os nós P1(x)=f(x0),x-x1x0-x1 +f(x1),x-x0x1-x0 e P1(x) =1cdotx-0,60-0,6 +1,264911064cdotx-00,6-0 . A fórmula geral é
Agora o polinômio de grau 2 com os três nós. A gente usa as bases L0(x)=(x-x1)(x-x2)(x0-x1)(x0-x2), L1(x)=(x-x0)(x-x2)(x1-x0)(x1-x2), L2(x)=(x-x0)(x-x1)(x2-x0)(x2-x1) , onde por exemplo
A gente só precisa de P2(0,45) &=1cdot0,125 +1,264911064cdot1,125 +1,378404875cdot(-0,25) &=0,125+1,423024947-0,344601219 approx1,203423728 . Calculando cada :