Para as funções f(x) dadas, sejam x0=0, x1=0,6 e x2=0,9. Construa polinômios interpoladores de Lagrange de grau 1 e grau 2 para determinar uma aproximação de f(0,45) e encontre o erro absoluto.
b) f(x)=raiz1+x

Passo 1

Beleza, o que a questão pede é o seguinte: usando os pontos

e a função
,
a gente vai montar dois polinômios de Lagrange – um de grau 1 (reta) e outro de grau 2 (quadrático) – para aproximar . Depois, mede o erro absoluto, que é .
Conteúdo envolvido: interpolação polinomial de Lagrange e cálculo de erro. Vamos precisar calcular valores de nos nós, montar as fórmulas de Lagrange e fazer umas contas.

Passo 2

Primeiro, calcula f(0)&=raiz1+0=1, f(0,6)&=raiz1,6approx1,264911064, f(0,9)&=raiz1,9approx1,378404875, f(0,45)&=raiz1,45approx1,204159457 nos pontos dados e também no ponto de interesse :
Esses valores são a base pra construir o polinômio de Lagrange.

Passo 3

Agora o polinômio de grau 1 (reta) usando os nós P1(x)=f(x0),x-x1x0-x1 +f(x1),x-x0x1-x0 e P1(x) =1cdotx-0,60-0,6 +1,264911064cdotx-00,6-0 . A fórmula geral é
P1(0,45) =1cdot0,45-0,6-0,6 +1,264911064cdot0,450,6 =0,25+0,948683298 approx1,198683298
Substituindo:
Queremos :

Passo 4

Erro absoluto para o grau 1:
l|f(0,45)-P1(0,45)r| =l|1,204159457-1,198683298r| approx0,005476159

Passo 5

Agora o polinômio de grau 2 com os três nós. A gente usa as bases L0(x)=(x-x1)(x-x2)(x0-x1)(x0-x2), L1(x)=(x-x0)(x-x2)(x1-x0)(x1-x2), L2(x)=(x-x0)(x-x1)(x2-x0)(x2-x1) , onde por exemplo
P2(x)=f(0),L0(x)+f(0,6),L1(x)+f(0,9),L2(x)
O polinômio é
L0(0,45)&=(0,45-0,6)(0,45-0,9)(-0,6)(-0,9) =(-0,15)(-0,45)0,54 =0,125, L1(0,45)&=(0,45-0)(0,45-0,9)(0,6)(-0,3) =0,45cdot(-0,45)-0,18 =1,125, L2(0,45)&=(0,45-0)(0,45-0,6)(0,9)(0,3) =0,45cdot(-0,15)0,27 =-0,25
A gente só precisa de P2(0,45) &=1cdot0,125 +1,264911064cdot1,125 +1,378404875cdot(-0,25) &=0,125+1,423024947-0,344601219 approx1,203423728 . Calculando cada :
Logo,

Passo 6

Erro absoluto para o grau 2:
l|f(0,45)-P2(0,45)r| =l|1,204159457-1,203423728r| approx0,000735729

Resposta

A aproximação e o erro absoluto são:
  • Grau 1:
  • Grau 2:

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