Seja
, para
.
a) Aproxime
usando interpolação linear com
e
.
b) Aproxime
usando interpolação polinomial com
e
.
c) Aproxime
e
usando o polinômio interpolador quadrático com
1 e
.
d) Quais são as melhores aproximações e por quê?
a) Aproxime
b) Aproxime
c) Aproxime
d) Quais são as melhores aproximações e por quê?
Passo 1
Beleza, resumindo o problema: a gente tem a função
e quer aproximar dois valores,
a) interpolação linear em
b) interpolação linear em
c) interpolação quadrática (polinômio de Lagrange de grau 2) em
O conteúdo é:
- fórmula do polinômio linear
- e polinômio de Lagrange grau 2
onde
Vamos lançar mão dessas fórmulas e depois comparar erros pra ver qual é a melhor aproximação.
Passo 2
Parte (a): interpolação linear em
para
.
- Calcular
e . - A inclinação (coeficiente angular) é
3) Logo
Passo 3
Parte (b): interpolação linear em
para
.
- Já temos
, e . - Inclinação
3) Então
$$p_1(0.75)=1.64872 + 2.13912,(0.75-0.5)=1.64872 + 2.13912\cdot0.25 =1.64872 + 0.53478 =2.18350\ (\text{aprox.}).$$
Passo 4
Parte ©: interpolação quadrática com
.
Vamos usar
Vamos usar
onde
-
-
-
Como
, temos
Agora plugamos
e
:
Para
:
-
, -
, -
.
Então
$$P_2(0.25)=1\cdot0.65625 + 2.71828\cdot0.4375 + 7.38906\cdot(-0.09375)
\approx1.15380.$$
Para
:
-
, -
, -
.
Logo
$$P_2(0.75)=1\cdot0.15625 + 2.71828\cdot0.9375 + 7.38906\cdot(-0.09375)
\approx2.01295.$$
Passo 5
Parte (d): comparar com os valores exatos
-
, -
.
Erros absolutos:
- para
: - linear em
: , - quadrático:
.
- linear em
- para
: - linear em
: , - quadrático:
.
- linear em
Ou seja, as interpolação lineares locais (a) e (b) são melhores em cada ponto do que o polinômio de grau 2 sobre o intervalo inteiro, porque o grau 2 “espalha” muito a influência dos pontos extremos.
Resposta
a)
b)
c)
d) As melhores são as interpolação lineares locais (a e b), pois apresentam erro menor do que o polinômio quadrático sobre .
b)
c)
d) As melhores são as interpolação lineares locais (a e b), pois apresentam erro menor do que o polinômio quadrático sobre