Seja f(x)=e^x, para 0 <= x <= 2.
a) Aproxime f(0,25) usando interpolação linear com x0=0 e x1=0,5.
b) Aproxime f(0,75) usando interpolação polinomial com x0=0,5 e x1=1.
c) Aproxime f(0,25) e f(0,75) usando o polinômio interpolador quadrático com x0=0, x1= 1 e x2=2.
d) Quais são as melhores aproximações e por quê?

Passo 1

Beleza, resumindo o problema: a gente tem a função
f(x)=e^xem;[0,2],
e quer aproximar dois valores, f(0.25) e f(0.75), de três jeitos:
a) interpolação linear em x0=0 e x1=0.5;
b) interpolação linear em x0=0.5 e x1=1;
c) interpolação quadrática (polinômio de Lagrange de grau 2) em x0=0,;x1=1,;x2=2.
O conteúdo é:
- fórmula do polinômio linear
p1(x)=f(x0)+f(x1)-f(x0)x1-x0(x-x0),
  • e polinômio de Lagrange grau 2 P2(x)=sumi=0^2f(xi),Li(x),
    onde
    Li(x)=prodjneq ix-xjxi-xj
Vamos lançar mão dessas fórmulas e depois comparar erros pra ver qual é a melhor aproximação.

Passo 2

Parte (a): interpolação linear em [0,0.5] para x=0.25.
  1. Calcular f(0)=e^0=1 e f(0.5)=e^0.5approx1.64872.
  2. A inclinação (coeficiente angular) é m=f(0.5)-f(0)0.5-0=1.64872-10.5=1.29744
    3) Logo
    p1(0.25)=1 + 1.29744,(0.25-0)=1 + 0.32436=1.32436

Passo 3

Parte (b): interpolação linear em [0.5,1] para x=0.75.
  1. Já temos f(0.5)approx1.64872, e f(1)=e^1approx2.71828.
  2. Inclinação m=2.71828-1.648721-0.5=1.069560.5=2.13912
    3) Então
    $$p_1(0.75)=1.64872 + 2.13912,(0.75-0.5)
            =1.64872 + 2.13912\cdot0.25
            =1.64872 + 0.53478
            =2.18350\ (\text{aprox.}).$$

Passo 4

Parte ©: interpolação quadrática com x0=0,;x1=1,;x2=2.
Vamos usar
P2(x)=f(0)L0(x)+f(1)L1(x)+f(2)L2(x),
onde
- L0(x)=(x-1)(x-2)(0-1)(0-2)=(x-1)(x-2)2,
- L1(x)=(x-0)(x-2)(1-0)(1-2)=-,x(x-2),
- L2(x)=(x-0)(x-1)(2-0)(2-1)=x(x-1)2.
Como f(0)=1,;f(1)=eapprox2.71828,;f(2)=e^2approx7.38906, temos
P2(x)=1cdot L0(x) +2.71828cdot L1(x) +7.38906cdot L2(x)
Agora plugamos x=0.25 e x=0.75:
Para x=0.25:
  • L0(0.25)=tfrac(0.25-1)(0.25-2)2=0.65625,
  • L1(0.25)=-0.25,(0.25-2)=0.4375,
  • L2(0.25)=tfrac0.25(0.25-1)2=-0.09375.
    Então
$$P_2(0.25)=1\cdot0.65625 + 2.71828\cdot0.4375 + 7.38906\cdot(-0.09375)
      \approx1.15380.$$
Para P2(0.25)=1cdot0.65625 + 2.71828cdot0.4375 + 7.38906cdot(-0.09375) approx1.15380:
  • x=0.75,
  • L0(0.75)=tfrac(0.75-1)(0.75-2)2=0.15625,
  • L1(0.75)=-0.75,(0.75-2)=0.9375.
    Logo
$$P_2(0.75)=1\cdot0.15625 + 2.71828\cdot0.9375 + 7.38906\cdot(-0.09375)
      \approx2.01295.$$

Passo 5

Parte (d): comparar com os valores exatos
  • f(0.25)=e^0.25approx1.28403,
  • f(0.75)=e^0.75approx2.11700.
Erros absolutos:
  • para x=0.25:
    • linear em [0,0.5]: |1.32436-1.28403|approx0.04033,
    • quadrático: |1.15380-1.28403|approx0.13023.
  • para x=0.75:
    • linear em [0.5,1]: |2.18350-2.11700|approx0.06650,
    • quadrático: |2.01295-2.11700|approx0.10405.
Ou seja, as interpolação lineares locais (a) e (b) são melhores em cada ponto do que o polinômio de grau 2 sobre o intervalo inteiro, porque o grau 2 “espalha” muito a influência dos pontos extremos.

Resposta

a) p1(0.25)approx1.32436
b) p1(0.75)approx2.18350
c) P2(0.25)approx1.15380, P2(0.75)approx2.01295
d) As melhores são as interpolação lineares locais (a e b), pois apresentam erro menor do que o polinômio quadrático sobre [0,2].

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