As funções demanda e oferta mensais para a luminária de mesa Luminar são dadas por
p=d(x)=-1.1 x^2+1,5 x+40 p=s(x)=0.1 x^2+0.5 x+15
respectivamente, onde p é medido em dólares e x em unidades de milhar. Determine a quantidade e o preço de equilíbrio.

Passo 1

O enunciado dá as funções de demanda e oferta mensais em milhares de unidades:
p = d(x) = -1,1,x^2 + 1,5,x + 40,
p = s(x) = 0,1,x^2 + 0,5,x + 15
O ponto de equilíbrio ocorre quando a quantidade demandada é igual à quantidade ofertada, isto é, quando d(x)=s(x). Para resolver precisamos achar x tal que essas duas expressões em x se igualem.

Passo 2

Igualando d(x) e s(x):
-1,1,x^2 + 1,5,x + 40 = 0,1,x^2 + 0,5,x + 15
Trazendo tudo para o lado esquerdo:
-1,1,x^2 - 0,1,x^2 + 1,5,x - 0,5,x + 40 - 15 = 0
-1,2,x^2 + 1,0,x + 25 = 0
Multiplicando por -1 para facilitar:
1,2,x^2 - 1,0,x - 25 = 0

Passo 3

Para resolver a equação quadrática 1,2,x^2 - 1,0,x - 25 = 0 usamos a fórmula de Bhaskara:
De<a = b^2 - 4ac = (-1,0)^2 - 4cdot 1,2 cdot (-25) = 1 + 120 = 121,
x = -b pm raizDe<a2a = 1,0 pm raiz1212 cdot 1,2 = 1 pm 112,4
As soluções são
x1 = 1 + 112,4 = 5, x2 = 1 - 112,4 approx -4,17
Como x representa milhares de unidades, descartamos a raiz negativa e ficamos com x=5 (isto é, 5000 unidades).

Passo 4

Para encontrar o preço de equilíbrio, substituímos x=5 em uma das funções (por exemplo em d(x)):
p = d(5) = -1,1 cdot 5^2 + 1,5 cdot 5 + 40 = -1,1 cdot 25 + 7,5 + 40 = -27,5 + 7,5 + 40 = 20

Resposta

A quantidade de equilíbrio é x = 5 milhares de unidades (ou seja 5000 unidades) e o preço de equilíbrio é p = 20 dólares.

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