Nas funções f e g definidas por f(x)=x^{2}+2 e g(x)=x-3, obter:
b) g \circ f

Passo 1

O enunciado dá duas funções e pede que a gente obtenha g\circ f. Informações fornecidas:
  • f(x)=x^{2}+2.
  • g(x)=x-3.
  • A tarefa é calcular g\circ f, isto é, a composição de g com f.

Passo 2

O que significa g\circ f? Vou explicar devagarinho: a notação
(g\circ f)(x)=g(f(x))
quer dizer "primeiro aplica-se f a x, obtém-se f(x); em seguida aplica-se g ao resultado f(x)". Ou seja, a entrada de g será exatamente o valor que saiu de f.

Passo 3

Agora fazemos a substituição explícita: como g(t)=t-3 para uma variável genérica t, se eu quiser aplicar g a f(x) eu troco t por f(x). Logo
(g\circ f)(x)=g(f(x))=f(x)-3.
Aqui usei a forma funcional de g: g(\text{algo})=(\text{algo})-3.

Passo 4

Substituo agora a expressão de f(x) em f(x)-3. Lembre que f(x)=x^{2}+2, então
(g\circ f)(x)=\bigl(x^{2}+2\bigr)-3.
Mostrei os parênteses para ficar claro de onde vem cada termo.

Passo 5

Simplifico a soma/subtração: x^{2}+2-3=x^{2}-1. Portanto
(g\circ f)(x)=x^{2}-1.

Passo 6

Cheque rápido (teste numérico) para ganhar confiança: escolha x=2. Então f(2)=2^{2}+2=6 e g(f(2))=g(6)=6-3=3. Pela fórmula obtida, (g\circ f)(2)=2^{2}-1=4-1=3. Confere!

Passo 7

Observação sobre domínio: tanto f quanto g são polinômios (ou função afim no caso de g), então têm domínio todo \mathbb{R}. A composição também tem domínio \mathbb{R}.

Resposta

(g\circ f)(x)=x^{2}-1

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