As funções f(t)=t^2|t| e g(t)=t^3 podem ser soluções de uma equação linear homogênea
y^prime prime+p(t) y^prime+q(t) y=0 no intervalo I=(-1,1) ? Explique.

Passo 1

O enunciado pergunta se as funções
f(t)=t^2|t|
e
g(t)=t^3
podem ser simultaneamente soluções de uma equação linear homogênea de segunda ordem
y'' + p(t),y' + q(t),y = 0
com p e q contínuas em I = (-1,1). Vamos usar o conceito de Wronskiano e o teorema de Abel que relaciona continuidade dos coeficientes à dependência linear das soluções.

Passo 2

Se y1 e y2 são duas soluções da equação linear homogênea com p,q contínuas em I, então o Wronskiano
W(t) = y1(t) & y2(t) y1'(t) & y2'(t) = y1(t),y2'(t) - y1'(t),y2(t)
satisfez a fórmula de Abel
W(t) = W(t0),expl(-!integralt0^t p(s),dsr)
Em particular, se W anula em algum ponto de I, então Wequiv0 em todo I, o que implica que y1 e y2 são linearmente dependentes em I.

Passo 3

Vamos calcular o Wronskiano de f e g para tne0. Note que
  • Para t>0, ,f(t)=t^3 e g(t)=t^3, logo f(t)=g(t).
  • Para t<0, ,f(t)=-t^3 e g(t)=t^3, logo f(t)=-,g(t).
Dessa forma, em qualquer ponto tne0, temos f proporcional a g, então
W(t)=f(t),g'(t)-f'(t),g(t)=0
Também em t=0 se vê diretamente que W(0)=0.

Passo 4

Pelo teorema de Abel, W(t)equiv0 em todo I implica que f e g seriam soluções linearmente dependentes no intervalo (-1,1). Mas, verificando a definição de dependência linear de funções em I, não existe constante (a,b)neq(0,0) tal que
a,f(t) + b,g(t) = 0 para todo tin(-1,1),
pois isso obrigaria a+b=0 e -a+b=0 simultaneamente, levando só à solução trivial a=b=0. Logo, f e g são linearmente independentes como funções em I.

Passo 5

Chegamos a uma contradição: se f e g fossem ambas soluções de uma mesma equação com p,q contínuas, teríamos Wequiv0 e, portanto, dependência linear, o que não ocorre entre f e g. Concluímos que não existe equação linear homogênea de segunda ordem com p e q contínuas em (-1,1) que tenha simultaneamente f e g como soluções.

Resposta

Não. As duas funções teriam Wronskiano identicamente zero (logo dependentes segundo Abel) e, ao mesmo tempo, não são dependentes linearmente em (-1,1), o que impede que ambas satisfaçam a mesma equação com coeficientes contínuos neste intervalo.

Exercícios relacionados