Use o Lema Fundamental e mostre que a função z=f(x, y) é diferenciável no domínio indicado.
Estude a diferenciabilidade da função z=f(x, y), no ponto P0 indicado:
z=l3 x yx^2+y^2, se (x, y) neq(0,0) 0, se (x, y)=(0,0) ; P0=(1,2)

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= dfrac3,x,yx^2+y^2,&(x,y)neq(0,0),[1ex] 0,&(x,y)=(0,0),
e pede para estudar a diferenciabilidade em P0=(1,2). Vamos usar o Lema Fundamental do Cálculo (i.e.\ o Teorema do Valor Médio unidimensional) aplicado à função de trajeto
g(t)=fl(1+t,h,;2+t,kr),
para mostrar que
f(1+h,2+k)-f(1,2) =fx(1,2),h+fy(1,2),k+R(h,k),
com lim(h,k)to(0,0)R(h,k)raizh^2+k^2=0.
]

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais em (x,y)neq(0,0).
Para f(x,y)=3xy/(x^2+y^2), usando quociente,
fx(x,y) =3y,(x^2+y^2)-3xy,(2x)(x^2+y^2)^2 =3y,(y^2-x^2)(x^2+y^2)^2,
fy(x,y) =3x,(x^2+y^2)-3xy,(2y)(x^2+y^2)^2 =3x,(x^2-y^2)(x^2+y^2)^2
Em particular, em P0=(1,2):
fx(1,2) =3cdot2,(4-1)(1+4)^2 =1825, fy(1,2) =3cdot1,(1-4)25 =-925

Passo 3

Defina g(t)=fl(1+t,h,2+t,kr). Pelo Lema Fundamental do Cálculo, existe xiin(0,1) tal que
g(1)-g(0) =g'(xi) =gx(1+xi h,2+xi k),h+gy(1+xi h,2+xi k),k,
isto é,
f(1+h,2+k)-f(1,2) =fx(1+xi h,2+xi k),h +fy(1+xi h,2+xi k),k

Passo 4

Como fx e fy são contínuas em (1,2) (o denominador nunca zera perto de (1,2)), ao fazermos (h,k)to(0,0) temos
fx(1+xi h,2+xi k)to fx(1,2), fy(1+xi h,2+xi k)to fy(1,2)
Logo podemos escrever
f(1+h,2+k)-f(1,2) =underbracefx(1,2),h+fy(1,2),kparte linear+R(h,k),
onde R(h,k)/raizh^2+k^2to0. Isso mostra que f é diferenciável em P0.

Resposta

A função f é diferenciável em P0=(1,2) e o seu diferencial é
df(1,2)(h,k) =1825,h-925,k

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