As funções horárias das posições e velocidades de uma partícula em movimento harmônico simples são: x(t)=A \cos (3 t+\varphi) e v(t)=-3 A \operatorname{sen}(3 t+\varphi), com x (medido apartir de um centro de força tomado como origem) em metros e t em segundos. Se a partícula inciou seu movimento na posição x_{o} com velocidade v_{o}, determine:
a) as expressões de A e \varphi em função de x_{o} e v_{o};
b) o instante em que a partícula possui máxima distância da origem;
c) o instante em que a partícula possui máxima velocidade.
( Resp. a \left.) A=\frac{1}{3} \sqrt{9 x_{o}^{2}+v_{o}^{2}} \varphi=\arctan \left(-\frac{v_{o}}{3 x_{o}}\right) b\right) t=\frac{2 n \pi-\varphi}{3}, n=0,1,2,3 \ldots

Passo 1

O enunciado dá as funções horárias
x(t)=A\cos(3t+\varphi)
e
v(t)=-3A\sin(3t+\varphi)
e diz que, no instante inicial t=0, a partícula tem posição x(0)=x_{o} e velocidade v(0)=v_{o}.
As perguntas são:
a) achar A e \varphi em função de x_{o} e v_{o};
b) determinar os instantes em que a partícula possui máxima distância da origem;
c) determinar os instantes em que a partícula possui máxima velocidade.
Informações relevantes dadas: x(t) e v(t) como acima, e condições iniciais \,x(0)=x_{o}\, e \,v(0)=v_{o}\,. A resolução começa a partir dessas igualdades em t=0.

Passo 2

Primeiro passo prático: avaliar as expressões em t=0. Substituindo t=0 em x(t) e v(t) obtemos duas equações que relacionam A, \varphi, x_{o} e v_{o}. Vamos fazer isso devagarinho:
x(0)=A\cos(\varphi)=x_{o}
e
v(0)=-3A\sin(\varphi)=v_{o}.
Essas duas equações simples são a base para encontrar A e \varphi. Em palavras: a posição inicial é a amplitude vezes o cosseno da fase, e a velocidade inicial é -3 vezes a amplitude vezes o seno da fase.

Passo 3

Agora vamos eliminar \varphi para achar A. A ideia clássica: elevar ao quadrado ambas as equações e somá-las, porque \cos^{2}\varphi+\sin^{2}\varphi=1. Faça isso passo a passo:
x_{o}^{2}=A^{2}\cos^{2}\varphi,
v_{o}^{2}=9A^{2}\sin^{2}\varphi.
Somando:
x_{o}^{2}+ \frac{v_{o}^{2}}{9}=A^{2}(\cos^{2}\varphi+\sin^{2}\varphi)=A^{2}.
Portanto
A=\sqrt{x_{o}^{2}+\left(\frac{v_{o}}{3}\right)^{2}}.
Para deixar na forma dada no enunciado, podemos manipular a raiz:
A=\frac{1}{3}\sqrt{9x_{o}^{2}+v_{o}^{2}}.
Explicação didática: estamos usando a identidade trigonométrica fundamental \cos^{2}\varphi+\sin^{2}\varphi=1. Essa técnica (elevar ao quadrado e somar) é padrão para extrair a amplitude em movimentos harmônicos quando sabemos posição e velocidade iniciais.

Passo 4

Agora vamos achar \varphi. A maneira mais direta é dividir a equação da velocidade pela equação da posição (assumindo x_{o}\neq0; trataremos caso especial em seguida). Dividindo v_{o}=-3A\sin\varphi por x_{o}=A\cos\varphi obtemos:
\frac{v_{o}}{x_{o}}=\frac{-3A\sin\varphi}{A\cos\varphi}=-3\tan\varphi.
Isolando \tan\varphi:
\tan\varphi=-\frac{v_{o}}{3x_{o}}.
Portanto, uma expressão para \varphi é
\varphi=\arctan\!\left(-\frac{v_{o}}{3x_{o}}\right).
Observação importante (didática e prática para prova): a função \arctan dá um valor principal entre -\frac{\pi}{2} e \frac{\pi}{2}. se x_{o}<0 (ou seja, se \cos\varphi for negativo) devemos ajustar o resultado adicionando \pi para colocar \varphi no quadrante correto, porque a equação original x_{o}=A\cos\varphi dá o sinal de \cos\varphi. Em provas, uma forma segura é usar a função \operatorname{atan2}(y,x) com argumentos y=-v_{o} e x=3x_{o} para obter a fase no quadrante certo. Em resumo: a fórmula acima vale, lembrando de escolher a adição de k\pi que torne \cos\varphi ter o mesmo sinal de x_{o}.

Passo 5

Resumindo a resposta para a letra (a) (já com interpretação física):
A=\frac{1}{3}\sqrt{9x_{o}^{2}+v_{o}^{2}}, \qquad \varphi=\arctan\!\left(-\frac{v_{o}}{3x_{o}}\right),
com a observação de ajustar a escolha do ramo do arco-tangente para que \cos\varphi tenha o mesmo sinal de x_{o}.

Passo 6

Agora a letra (b): instantes de máxima distância da origem. A posição é x(t)=A\cos(3t+\varphi). A máxima distância em módulo é |x|_{\max}=A. Isso ocorre sempre que \cos(3t+\varphi)=\pm 1. As duas formas úteis de escrever os instantes são:
  • para os instantes em que x(t)=+A (máximo positivo): imponha \cos(3t+\varphi)=1, ou seja
3t+\varphi=2n\pi \quad\Rightarrow\quad t=\frac{2n\pi-\varphi}{3},\qquad n=0,1,2,\dots
  • se quisermos todos os instantes em que a distância é máxima (tanto +A quanto -A): imponha \cos(3t+\varphi)=\pm 1, ou seja
3t+\varphi=n\pi \quad\Rightarrow\quad t=\frac{n\pi-\varphi}{3},\qquad n=0,1,2,\dots
Observação amigável: o enunciado-resposta que você deu apresenta a forma com 2n\pi, ou seja os instantes em que a partícula está em +A. Ambas as formas estão corretas dependendo se você quer só o máximo positivo ou qualquer instante de distância máxima.

Passo 7

Letra (c): instantes de máxima velocidade. A velocidade é
v(t)=-3A\sin(3t+\varphi).
O módulo da velocidade é |v(t)|=3A|\sin(3t+\varphi)|. O máximo do módulo é 3A, que ocorre quando |\sin(3t+\varphi)|=1, isto é quando \sin(3t+\varphi)=\pm 1. Isso dá a condição
3t+\varphi=\frac{\pi}{2}+n\pi \quad\Rightarrow\quad t=\frac{\tfrac{\pi}{2}+n\pi-\varphi}{3},\qquad n=0,1,2,\dots
Se quiser o instante em que a velocidade é máxima positiva (não só em módulo), resolva v(t)=+3A, isto é -3A\sin(3t+\varphi)=3A \Rightarrow \sin(3t+\varphi)=-1, que dá
3t+\varphi=-\frac{\pi}{2}+2n\pi \quad\Rightarrow\quad t=\frac{-\tfrac{\pi}{2}+2n\pi-\varphi}{3}.
E para velocidade máxima negativa (mais negativa), faça \sin(3t+\varphi)=+1; isso é só para sinal, a magnitude máxima é sempre 3A.

Resposta

a) A=\dfrac{1}{3}\sqrt{9x_{o}^{2}+v_{o}^{2}}\;\;,\;\;\varphi=\arctan\!\left(-\dfrac{v_{o}}{3x_{o}}\right) (ajustar o ramo para o quadrante correto).
b) t=\dfrac{2n\pi-\varphi}{3},\; n=0,1,2,\dots (instantes em que x=+A; para qualquer máximo de distância use t=\dfrac{n\pi-\varphi}{3}).
c) t=\dfrac{\tfrac{\pi}{2}+n\pi-\varphi}{3},\; n=0,1,2,\dots (instantes em que |v|=3A; para velocidade positiva máxima use t=\dfrac{-\tfrac{\pi}{2}+2n\pi-\varphi}{3}).

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