As funções horárias das posições e velocidades de uma partícula em movimento harmônico simples são:
e
, com
(medido apartir de um centro de força tomado como origem) em metros e
em segundos. Se a partícula inciou seu movimento na posição
com velocidade
, determine:
a) as expressões de
e
em função de
e
;
b) o instante em que a partícula possui máxima distância da origem;
c) o instante em que a partícula possui máxima velocidade.
Resp. a
a) as expressões de
b) o instante em que a partícula possui máxima distância da origem;
c) o instante em que a partícula possui máxima velocidade.
Passo 1
O enunciado dá as funções horárias
e
e diz que, no instante inicial
, a partícula tem posição
e velocidade
.
As perguntas são:
a) achar e
em função de
e
;
b) determinar os instantes em que a partícula possui máxima distância da origem;
c) determinar os instantes em que a partícula possui máxima velocidade.
As perguntas são:
a) achar
b) determinar os instantes em que a partícula possui máxima distância da origem;
c) determinar os instantes em que a partícula possui máxima velocidade.
Informações relevantes dadas:
e
como acima, e condições iniciais
e
. A resolução começa a partir dessas igualdades em
.
Passo 2
Primeiro passo prático: avaliar as expressões em
. Substituindo
em
e
obtemos duas equações que relacionam
,
,
e
. Vamos fazer isso devagarinho:
e
Essas duas equações simples são a base para encontrar
e
. Em palavras: a posição inicial é a amplitude vezes o cosseno da fase, e a velocidade inicial é
vezes a amplitude vezes o seno da fase.
Passo 3
Agora vamos eliminar
para achar
. A ideia clássica: elevar ao quadrado ambas as equações e somá-las, porque
. Faça isso passo a passo:
Somando:
Portanto
Para deixar na forma dada no enunciado, podemos manipular a raiz:
Explicação didática: estamos usando a identidade trigonométrica fundamental
. Essa técnica (elevar ao quadrado e somar) é padrão para extrair a amplitude em movimentos harmônicos quando sabemos posição e velocidade iniciais.
Passo 4
Agora vamos achar
. A maneira mais direta é dividir a equação da velocidade pela equação da posição (assumindo
; trataremos caso especial em seguida). Dividindo
por
obtemos:
Isolando
:
Portanto, uma expressão para
é
Observação importante (didática e prática para prova): a função
dá um valor principal entre
e
. se
(ou seja, se
for negativo) devemos ajustar o resultado adicionando
para colocar
no quadrante correto, porque a equação original
dá o sinal de
. Em provas, uma forma segura é usar a função
com argumentos
e
para obter a fase no quadrante certo. Em resumo: a fórmula acima vale, lembrando de escolher a adição de
que torne
ter o mesmo sinal de
.
Passo 5
Resumindo a resposta para a letra (a) (já com interpretação física):
com a observação de ajustar a escolha do ramo do arco-tangente para que
tenha o mesmo sinal de
.
Passo 6
Agora a letra (b): instantes de máxima distância da origem. A posição é
. A máxima distância em módulo é
. Isso ocorre sempre que
. As duas formas úteis de escrever os instantes são:
- para os instantes em que
(máximo positivo): imponha , ou seja
- se quisermos todos os instantes em que a distância é máxima (tanto
quanto ): imponha , ou seja
Observação amigável: o enunciado-resposta que você deu apresenta a forma com
, ou seja os instantes em que a partícula está em
. Ambas as formas estão corretas dependendo se você quer só o máximo positivo ou qualquer instante de distância máxima.
Passo 7
Letra (c): instantes de máxima velocidade. A velocidade é
O módulo da velocidade é
. O máximo do módulo é
, que ocorre quando
, isto é quando
. Isso dá a condição
Se quiser o instante em que a velocidade é máxima positiva (não só em módulo), resolva
, isto é
, que dá
E para velocidade máxima negativa (mais negativa), faça
; isso é só para sinal, a magnitude máxima é sempre
.
Resposta
a)
(ajustar o ramo para o quadrante correto).
b) (instantes em que
; para qualquer máximo de distância use
).
c) (instantes em que
; para velocidade positiva máxima use
).
b)
c)