As funções de oferta e demanda para un certo bem sã S(p) = p - 10 e D(p) = 5600 / p, respectivamente. Ache o preço de equilíbrio e o número correspondente de unidades ofertadas e demandadas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre equilíbrio de mercado! A gente tem duas funções: a de oferta e a de demanda . Nosso objetivo aqui é encontrar o preço de equilíbrio, que é o preço onde a quantidade que os produtores querem vender é igual à quantidade que os consumidores querem comprar. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre as funções de oferta e demanda e como igualá-las para achar esse preço especial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são essas funções. A função de oferta mostra quantas unidades dos produtos os produtores estão dispostos a oferecer no mercado a cada preço . Já a função de demanda indica quantas unidades os consumidores estão dispostos a comprar a cada preço .

Passo 3

Para encontrar o preço de equilíbrio, precisamos achar o valor de onde a oferta é igual à demanda. Isso significa que . Vamos igualar as duas funções:

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar . Multiplicando ambos os lados por para eliminar a fração, temos:
Isso simplifica para:

Passo 5

Temos uma equação quadrática . Para resolver, podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Onde , e . Substituindo esses valores:

Passo 6

Obtivemos duas soluções para :
Como preço não pode ser negativo, descartamos . Portanto, o preço de equilíbrio é .

Passo 7

Agora que temos o preço de equilíbrio , vamos encontrar a quantidade correspondentes tanto para oferta quanto para demanda. Usamos qualquer uma das funções, vamos usar a de oferta:
Usando a de demanda para confirmar:

Resposta

O preço de equilíbrio é e a quantidade correspondente ofertada e demandada é de unidades.

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