Funções por partes (para estudo de continuidade e limites)
(d) f(x)= cos (x)x, & x <= 0 1sin (x), & 0<x<pi

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)= cos(x)x, & x<= 0,[6pt] 1sin(x), & 0<x<pi,
e pede o estudo de limites e continuidade nos pontos de troca de definição, ou seja, em x=0 e em x=pi. Vamos usar limites unilaterais e analisar se há descontinuidade ou assíntota vertical.]

Passo 2

Calculamos a limite pela esquerda em 0:
limxto 0^-f(x) =limxto 0^-cos(x)x
Como cos(x)to 1 quando xto0 e xto0^- faz o denominador tender a zero negativo, segue que
limxto 0^-cos(x)x=10^-=-infty

Passo 3

Calculamos a limite pela direita em 0:
limxto 0^+f(x) =limxto 0^+1sin(x)
Para xto0^+, sin(x)sim xto0^+ e portanto
limxto 0^+1sin(x)=+infty

Passo 4

Conclusão em x=0: os limites unilaterais são
limxto0^-f(x)=-infty e limxto0^+f(x)=+infty,
logo não existe limite finito em 0 e há uma descontinuidade de tipo assíntota vertical. Além disso, f(0) não é definido (divisão por zero).

Passo 5

Agora o limite em xtopi^-, usando o segundo ramo:
limxtopi^-f(x) =limxtopi^-1sin(x)
Como para xtopi^-, sin(x)to0^+, temos
limxtopi^-1sin(x)=+infty,
ou seja, há outra assíntota vertical em x=pi.

Passo 6

Em cada intervalo aberto onde a função está bem definida — isto é, em (-infty,0) e em (0,pi) — os ramos cos(x)/x e 1/sin(x) são contínuos. As únicas descontinuidades estão em x=0 e em x=pi.

Resposta

limxto0^-f(x)=-infty, limxto0^+f(x)=+infty (assíntota vertical em x=0).
limxtopi^-f(x)=+infty (assíntota vertical em x=pi).
f é contínua apenas em (-infty,0) e em (0,pi).

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