Funções por partes (para estudo de continuidade e limites)
(d)
Passo 1
O enunciado dá a função por partes
e pede o estudo de limites e continuidade nos pontos de troca de definição, ou seja, em x=0 e em x=pi. Vamos usar limites unilaterais e analisar se há descontinuidade ou assíntota vertical.]
Passo 2
Calculamos a limite pela esquerda em 0:
limxto 0^-f(x) =limxto 0^-cos(x)x
Como cos(x)to 1 quando xto0 e xto0^- faz o denominador tender a zero negativo, segue que
limxto 0^-cos(x)x=10^-=-infty
Passo 3
Calculamos a limite pela direita em 0:
limxto 0^+f(x) =limxto 0^+1sin(x)
Para xto0^+, sin(x)sim xto0^+ e portanto
limxto 0^+1sin(x)=+infty
Passo 4
Conclusão em x=0: os limites unilaterais são
limxto0^-f(x)=-infty e limxto0^+f(x)=+infty,
logo não existe limite finito em 0 e há uma descontinuidade de tipo assíntota vertical. Além disso, f(0) não é definido (divisão por zero).
Passo 5
Agora o limite em xtopi^-, usando o segundo ramo:
limxtopi^-f(x) =limxtopi^-1sin(x)
Como para xtopi^-, sin(x)to0^+, temos
limxtopi^-1sin(x)=+infty,
ou seja, há outra assíntota vertical em x=pi.
Passo 6
Em cada intervalo aberto onde a função está bem definida — isto é, em (-infty,0) e em (0,pi) — os ramos cos(x)/x e 1/sin(x) são contínuos. As únicas descontinuidades estão em x=0 e em x=pi.
Resposta
– limxto0^-f(x)=-infty, limxto0^+f(x)=+infty (assíntota vertical em x=0).
– limxtopi^-f(x)=+infty (assíntota vertical em x=pi).
– f é contínua apenas em (-infty,0) e em (0,pi).