As funçōes y1(t)=e^4 t e y2(t)=e^-t são soluções fundamentais da equação diferencial a y^prime prime+b y^prime+c y=0, com a, b, c in R e a neq 0. Uma solução particular de
a y^prime prime+b y^prime+c y=2 t e^4 t
é da forma:
e y(t)=A t e^4 t.

Passo 1

O enunciado dá a equação não-homogênea
a,y'' + b,y' + c,y = 2,t,e^4t,
cuja equação homogênea tem raízes lambda=4 e lambda=-1. Queremos verificar se existe uma solução particular da forma
yp(t)=A,t,e^4t
Para isso vamos aplicar o método dos coeficientes a determinar: calcular yp' e yp'' e substituir na equação.

Passo 2

Calculemos as derivadas de yp(t)=A,t,e^4t.
yp(t)=A,t,e^4t
yp'(t) =;A;l(e^4t+4t,e^4tr) =A,e^4t,(1+4t)
yp''(t) =ddtl[A,e^4t,(1+4t)r] =A,l(4,e^4t(1+4t)+e^4tcdot4r) =A,e^4t,(8+16t)

Passo 3

Substituindo em a,y''+b,y'+c,y obtemos
a,yp''+b,yp'+c,yp =A,e^4tl[a(8+16t)+b(1+4t)+c,tr] =A,e^4tl[t(16a+4b+c)+(8a+b)r]
Como 16a+4b+c=a(4)^2+b(4)+c é zero (pois 4 é raiz da homogênea), sobra
a,yp''+b,yp'+c,yp =A,(8a+b),e^4t
Para ser igual a 2,t,e^4t precisaríamos
A,(8a+b),e^4t=2,t,e^4t Longrightarrow A,(8a+b)=2,tforall t,
o que é impossível para A constante.

Passo 4

Concluímos que não existe valor de A que torne
,yp(t)=A,t,e^4t,
solução particular. O ansatz correto, devido à raiz simples lambda=4, é
yp(t)=tl(A,t+Br)e^4t =(A,t^2+B,t),e^4t,
com dois coeficientes a determinar.

Resposta

Não existe valor de A tal que yp(t)=A,t,e^4t seja solução particular.

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