As funçōes y1(t)=e^4 t e y2(t)=e^-t são soluções fundamentais da equação diferencial a y^prime prime+b y^prime+c y=0, com a, b, c in R e a neq 0. Uma solução particular de
a y^prime prime+b y^prime+c y=2 t e^4 t
é da forma:
f y(t)=(A t^2+B t^3) e^4 t.

Passo 1

O enunciado é a busca de uma solução particular da EDO
a,y''+b,y'+c,y=2,t,e^4t,
sabendo que as raízes do polinômio característico são r=4 e r=-1, logo 16a+4b+c=0. Foi sugerido o ansatz
yp(t) = l(A,t^2 + B,t^3r),e^4t

Passo 2

Calculemos as derivadas de yp. Defina P(t)=B,t^3 + A,t^2. Então
yp = P(t),e^4t, yp' = l(P'(t)+4P(t)r)e^4t, yp'' = l(P''(t)+8P'(t)+16P(t)r)e^4t

Passo 3

Substituindo na equação, obtemos
a,yp''+b,yp'+c,yp =l[a,(P''+8P')+b,(P'+4P)+c,Pr]e^4t
Como 16a+4b+c=0, o termo em P some, sobrando
l[a,P''+(8a+b),P'r]e^4t

Passo 4

Agora P'=3B,t^2+2A,t e P''=6B,t+2A. Logo o coeficiente de e^4t é
a(6B,t+2A)+(8a+b)(3B,t^2+2A,t) =3B(8a+b),t^2+l[6aB+2A(8a+b)r]t+2aA
Para que isso seja igual a 2,t, devemos ter o sistema
3B(8a+b)=0, 6aB+2A(8a+b)=2, 2aA=0

Passo 5

Da terceira equação segue A=0. Então a segunda ficaria 6aB=2, ou seja B=tfrac13a. Mas a primeira exige B=0. Há, pois, contradição: não existem constantes A,B que satisfaçam simultaneamente as três equações.

Resposta

Não existe escolha de A e B tais que l(A,t^2+B,t^3r)e^4t seja solução particular da equação dada.

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