As funçōes y1(t)=e^4 t e y2(t)=e^-t são soluções fundamentais da equação diferencial a y^prime prime+b y^prime+c y=0, com a, b, c in R e a neq 0. Uma solução particular de
a y^prime prime+b y^prime+c y=2 t e^4 t
é da forma:
b y(t)=(A+B t) e^4 t.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial linear com coeficientes constantes
a,y'' + b,y' + c,y = 2,t,e^4t,
cuja solução geral da homogênea vem de y1(t)=e^4t e y2(t)=e^-t. O que vamos usar é o método dos coeficientes indeterminados para encontrar uma solução particular de forma polinomial vezes e^4t.

Passo 2

Se não houvesse coincidência de raízes, para um termo forçante 2,t,e^4t (que é um polinômio de grau 1 em t vezes e^4t), o ansatz usual seria
yp(t) = (A + B,t),e^4t

Passo 3

Porém e^4t já é solução da homogênea (raiz r=4 de multiplicidade 1 no polinômio característico). Logo devemos multiplicar o ansatz por t. Assim obtemos
yp(t) = t,(A + B,t),e^4t = l(A,t + B,t^2r),e^4t

Passo 4

Portanto, a forma correta de uma solução particular é
yp(t) = l(A,t^2 + B,tr),e^4t,
e não simplesmente (A + B,t)e^4t.

Resposta

A forma certa é
yp(t) = l(A,t^2 + B,tr),e^4t

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