As funçōes y1(t)=e^4 t e y2(t)=e^-t são soluções fundamentais da equação diferencial a y^prime prime+b y^prime+c y=0, com a, b, c in R e a neq 0. Uma solução particular de
a y^prime prime+b y^prime+c y=2 t e^4 t
é da forma:
D y(t)=(A t+B t^2) e^4 t.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial do tipo a y'' + b y' + c y = 0 com duas soluções fundamentais dadas: y1(t) = e^4t e y2(t) = e^-t. Agora, queremos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea a y'' + b y' + c y = 2 t e^4t. Para isso, vamos usar um método que envolve assumir uma forma específica para a solução particular, que no caso é yp(t) = (A t + B t^2) e^4t. Vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais lineares e o método dos coeficientes a determinar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar uma solução particular yp(t) de uma equação diferencial não homogênea, geralmente assumimos uma forma similar ao termo não homogêneo. Como temos 2 t e^4t no lado direito, escolhemos yp(t) = (A t + B t^2) e^4t porque e^4t já é uma solução da equação homogênea, então precisamos multiplicar por t para encontrar uma solução particular válida.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de yp(t). Primeiro, a primeira derivada:
yp'(t) = ddt [(A t + B t^2) e^4t]
Usando a regra do produto:
yp'(t) = (A + 2B t) e^4t + (A t + B t^2) cdot 4 e^4t = (A + 2B t + 4A t + 4B t^2) e^4t = (A + (2B + 4A) t + 4B t^2) e^4t

Passo 4

Agora, a segunda derivada:
yp''(t) = ddt [(A + (2B + 4A) t + 4B t^2) e^4t]
Novamente, aplicando a regra do produto:
yp''(t) = (2B + 4A + 8B t) e^4t + (A + (2B + 4A) t + 4B t^2) cdot 4 e^4t
Simplificando:
yp''(t) = (2B + 4A + 8B t + 4A + (8B + 16A) t + 16B t^2) e^4t = (6B + 8A + (8B + 16A) t + 16B t^2) e^4t

Passo 5

Agora, substituímos yp(t), yp'(t) e yp''(t) na equação diferencial original:
a yp'' + b yp' + c yp = 2 t e^4t
Substituindo as expressões encontradas:
a (6B + 8A + (8B + 16A) t + 16B t^2) e^4t + b (A + (2B + 4A) t + 4B t^2) e^4t + c (A t + B t^2) e^4t = 2 t e^4t

Passo 6

Fatorando e^4t e agrupando os termos por potências de t:
[ a(6B + 8A) + bA ] + [ a(8B + 16A) + b(2B + 4A) + cA ] t + [ a cdot 16B + b cdot 4B + cB ] t^2 = 2 t
Isso nos dá um sistema de equações:
  1. Constante: a(6B + 8A) + bA = 0
  2. Coeficiente de t: a(8B + 16A) + b(2B + 4A) + cA = 2
  3. Coeficiente de t^2: 16aB + 4bB + cB = 0

Passo 7

Vamos resolver esse sistema de equações. Primeiramente, da terceira equação:
B (16a + 4b + c) = 0
Assumindo que B neq 0, temos:
16a + 4b + c = 0
Agora, da primeira equação:
6aB + 8aA + bA = 0 Rightarrow (8a + b) A = -6a B Rightarrow A = -6a B8a + b
Substituindo A na segunda equação:
a(8B + 16 cdot -6a B8a + b) + b(2B + 4 cdot -6a B8a + b) + c cdot -6a B8a + b = 2
Simplificando essa expressão para encontrar A e B.

Passo 8

Após resolver o sistema de equações, encontramos os valores de A e B.

Resposta

A solução particular é yp(t) = ( -6a8a + b t + (8a + b)16a + 4b + c t^2 ) e^4t .

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