As funçōes
e
são soluções fundamentais da equação diferencial
, com
e
. Uma solução particular de
é da forma:
D
.
D
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial do tipo
com duas soluções fundamentais dadas:
e
. Agora, queremos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea
. Para isso, vamos usar um método que envolve assumir uma forma específica para a solução particular, que no caso é
. Vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais lineares e o método dos coeficientes a determinar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar uma solução particular
de uma equação diferencial não homogênea, geralmente assumimos uma forma similar ao termo não homogêneo. Como temos
no lado direito, escolhemos
porque
já é uma solução da equação homogênea, então precisamos multiplicar por
para encontrar uma solução particular válida.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
. Primeiro, a primeira derivada:
Usando a regra do produto:
Passo 4
Agora, a segunda derivada:
Novamente, aplicando a regra do produto:
Simplificando:
Passo 5
Agora, substituímos
,
e
na equação diferencial original:
Substituindo as expressões encontradas:
Passo 6
Fatorando
e agrupando os termos por potências de
:
Isso nos dá um sistema de equações:
- Constante:
- Coeficiente de
: - Coeficiente de
:
Passo 7
Vamos resolver esse sistema de equações. Primeiramente, da terceira equação:
Assumindo que
, temos:
Agora, da primeira equação:
Substituindo
na segunda equação:
Simplificando essa expressão para encontrar
e
.
Passo 8
Após resolver o sistema de equações, encontramos os valores de
e
.
Resposta
A solução particular é
.