As funçōes y1(t)=e^4 t e y2(t)=e^-t são soluções fundamentais da equação diferencial a y^prime prime+b y^prime+c y=0, com a, b, c in R e a neq 0. Uma solução particular de
a y^prime prime+b y^prime+c y=2 t e^4 t
é da forma:
c y(t)=A t^2 e^4 t.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial não-homogênea
a,y''+b,y'+c,y=2t,e^4t
cuja equação homogênea associada
a,y''+b,y'+c,y=0
tem soluções fundamentais ,y1(t)=e^4t e ,y2(t)=e^-t.
Para encontrar uma solução particular usando o método dos coeficientes a determinar, vamos precisar usar o fato de que o termo não-homogêneo é da forma
,P(t)e^alpha t com ,alpha=4 e P(t)=2t.

Passo 2

Como alpha=4 é raiz simples do polinômio característico a r^2+b r+c, o fator de multiplicação será t^1. E como P(t) é polinômio de grau 1, adotamos o ansatz
yp(t)=tl(A t + Br)e^4t ;=;(A t^2 + B t),e^4t

Passo 3

Dentre as formas oferecidas, a única que já contém o termo t^2e^4t (essencial para nossa escolha inicial) e que coincide com o fator t^1 proveniente da raiz simples é
boxedyp(t)=A,t^2,e^4t,
que corresponde à alternativa (c).

Resposta

c) y(t)=A,t^2,e^4t

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