As funções
e
são soluções fundamentais da equação diferencial
, com
e
. Uma solução particular de
é da forma:
.
Passo 1
O enunciado dá a equação linear homogênea
cuja solução fundamental dupla é
e
. Isso indica que a equação característica é
logo o único raiz é
de multiplicidade 2, o que implica
Em seguida queremos uma solução particular da não-homogênea
e o método dos coeficientes a determinar sugere o ansatz
Passo 2
Calcular
e
. Defina
Então
De fato,
logo
Passo 3
Substituir em
. Usando
,
e coletando potências de
, obtemos após simplificar que o termo em
e
se anulam identicamente graças a
, sobrando só o coeficiente de
e o termo constante. O coeficiente de
dá
e o termo constante dá
Passo 4
Resolver o sistema para
:
Passo 5
Portanto a solução particular fica