As funções y1(t)=t e^-t e y2(t)=e^-t são soluções fundamentais da equação diferencial a y^prime prime+b y^prime+c y=0, com a, b, c in R e a neq 0. Uma solução particular de
a y^prime prime+b y^prime+c y=2 t e^-t
é da forma:
y(t)=(A t^2+B t^3) e^-t.

Passo 1

O enunciado dá a equação linear homogênea
a y'' + b y' + c y = 0
cuja solução fundamental dupla é ,e^-t e t e^-t. Isso indica que a equação característica é
a(r+1)^2 = 0
logo o único raiz é r=-1 de multiplicidade 2, o que implica
b = 2a, c = a
Em seguida queremos uma solução particular da não-homogênea
a y'' + b y' + c y = 2t e^-t
e o método dos coeficientes a determinar sugere o ansatz
yp(t) = l(A t^2 + B t^3r)e^-t

Passo 2

Calcular yp' e yp''. Defina
P(t) = A t^2 + B t^3
Então
yp = P(t)e^-t, yp' = l(P'(t)-P(t)r)e^-t, yp'' = l(P''(t)-2P'(t)+P(t)r)e^-t
De fato,
P'(t)=2A t+3B t^2, P''(t)=2A+6B t,
logo
yp' = l(2A t+3B t^2 - A t^2 - B t^3r)e^-t,
yp'' = l(2A+6B t -2(2A t+3B t^2)+(A t^2+ B t^3)r)e^-t

Passo 3

Substituir em a yp''+b yp'+c yp. Usando b=2a, c=a e coletando potências de t, obtemos após simplificar que o termo em t^3 e t^2 se anulam identicamente graças a b=2a,;c=a, sobrando só o coeficiente de t e o termo constante. O coeficiente de t
6a,B(do t^3) = 2,
e o termo constante dá
2a,A(do t^2) = 0

Passo 4

Resolver o sistema para (A,B):
2a,A = 0 Longrightarrow A=0,
6a,B = 2 Longrightarrow B = 26a = 13a

Passo 5

Portanto a solução particular fica
yp(t) = l(0cdot t^2 + tfrac13a,t^3r)e^-t = t^33a,e^-t

Resposta

A = 0, B = 13a

Exercícios relacionados