Instruçōes:
Questāo 1 (
ordem + decaimento com reação)
Qual a solução geral?
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Questāo 1 (
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial de primeira ordem que descreve como a concentração
muda com o tempo
. A equação é:
Aqui,
é uma constante positiva,
é outra constante, e
é a concentração inicial. O nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação, ou seja, uma expressão para
em função do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. A forma geral de uma equação linear de primeira ordem é:
No nosso caso, temos:
Passo 3
Para resolver essa equação, vamos usar o método do fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Isso simplifica a equação para:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo simplifica para:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Para resolver a integral
, usamos a integração por partes, onde:
Aplicando a integração por partes:
Passo 7
Substituindo de volta na equação anterior:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 8
Aplicando a condição inicial
:
Resolvendo para
:
Passo 9
Substituindo
de volta na expressão para
:
Simplificando:
Resposta
A solução geral é