Instruçōes:
Questāo 1 ( 1^a ordem + decaimento com reação)
d Cd t=-k C+alpha t, C(0)=C o, k>0
Qual a solução geral?
(A) C(t)=e^-k t[C0+integral alpha t d t]
(B) C(t)=e^-k t[C0+integral alpha t e^k t d t]
(C) C(t)=C0 e^-k t+alpha t^22
(D) C(t)=e^k t[alpha integral t d t]
(E) C(t)=e^-k t+alpha t^2+C0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial de primeira ordem que descreve como a concentração C muda com o tempo t . A equação é:
d Cd t = -k C + alpha t, C(0) = C0, k > 0
Aqui, k é uma constante positiva, alpha é outra constante, e C0 é a concentração inicial. O nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação, ou seja, uma expressão para C(t) em função do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. A forma geral de uma equação linear de primeira ordem é:
d yd t + P(t) y = Q(t)
No nosso caso, temos:
  • y = C
  • P(t) = k
  • Q(t) = alpha t

Passo 3

Para resolver essa equação, vamos usar o método do fator integrante. O fator integrante mu(t) é dado por:
mu(t) = e^integral P(t) dt = e^integral k dt = e^k t

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante mu(t) :
e^k t d Cd t + e^k t k C = e^k t alpha t
Isso simplifica a equação para:
dd t ( e^k t C ) = alpha t e^k t

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a t :
integral dd t ( e^k t C ) dt = integral alpha t e^k t dt
O lado esquerdo simplifica para:
e^k t C = alpha integral t e^k t dt + C1
onde C1 é a constante de integração.

Passo 6

Para resolver a integral integral t e^k t dt , usamos a integração por partes, onde:
  • u = t Rightarrow du = dt
  • dv = e^k t dt Rightarrow v = 1k e^k t
Aplicando a integração por partes:
integral t e^k t dt = t e^k tk - 1k integral e^k t dt = t e^k tk - e^k tk^2 + C2

Passo 7

Substituindo de volta na equação anterior:
e^k t C = alpha ( t e^k tk - e^k tk^2 ) + C1
Dividindo ambos os lados por e^k t :
C(t) = alpha ( tk - 1k^2 ) + C1 e^-k t

Passo 8

Aplicando a condição inicial C(0) = C0 :
C(0) = alpha ( 0 - 1k^2 ) + C1 e^0 = -alphak^2 + C1 = C0
Resolvendo para C1 :
C1 = C0 + alphak^2

Passo 9

Substituindo C1 de volta na expressão para C(t) :
C(t) = alpha ( tk - 1k^2 ) + ( C0 + alphak^2 ) e^-k t
Simplificando:
C(t) = alpha tk + C0 e^-k t

Resposta

A solução geral é
C(t) = C0 e^-k t + alpha tk

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