As funções
e
são soluções fundamentais da equação diferencial
, com
e
. Uma solução particular de
é da forma:
b
.
b
Passo 1
O enunciado nos dá a EDO linear de segunda ordem
cuja equação homogênea associada
tem soluções fundamentais
e
.
O conteúdo aqui é o método dos coeficientes a determinar para termos não homógeneos, com o cuidado de multiplicar o “ansatz” por potências de quando a parte for de mesmo tipo das soluções homogêneas (repeated root).
O conteúdo aqui é o método dos coeficientes a determinar para termos não homógeneos, com o cuidado de multiplicar o “ansatz” por potências de
Passo 2
Como as soluções homogêneas são
e
, o polinômio característico tem raiz
de multiplicidade 2.
O termo não homógeneo é , do tipo
com
de grau 1.
Para o método de coeficientes a determinar, a forma padrão seria , mas como
é raiz dupla, precisamos multiplicar por
.
Logo o “ansatz” correto é
O termo não homógeneo é
Para o método de coeficientes a determinar, a forma padrão seria
Logo o “ansatz” correto é
Passo 3
Para verificar, escrevemos
e
.
Então
Então
Substituindo em
e cancelando
, obtemos um polinômio em
que deve ser igual a
.
Como o caract. se anula em , os coeficientes de
e
desaparecem automaticamente, sobrando das equações de
e do termo constante os valores
Como o caract. se anula em
Assim uma solução particular é
Resposta
A forma proposta em (b),
, está incorreta.
O ansatz correto é
O ansatz correto é
e especificamente