As funções y1(t)=t e^-t e y2(t)=e^-t são soluções fundamentais da equação diferencial a y^prime prime+b y^prime+c y=0, com a, b, c in R e a neq 0. Uma solução particular de
a y^prime prime+b y^prime+c y=2 t e^-t
é da forma:
b y(t)=(A+B t) e^-t.

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO linear de segunda ordem
a,y''+b,y'+c,y=2t,e^-t
cuja equação homogênea associada
a,y''+b,y'+c,y=0
tem soluções fundamentais
;y1(t)=t,e^-t; e ;y2(t)=e^-t.
O conteúdo aqui é o método dos coeficientes a determinar para termos não homógeneos, com o cuidado de multiplicar o “ansatz” por potências de t quando a parte for de mesmo tipo das soluções homogêneas (repeated root).

Passo 2

Como as soluções homogêneas são e^-t e t,e^-t, o polinômio característico tem raiz r=-1 de multiplicidade 2.
O termo não homógeneo é 2t,e^-t, do tipo P1(t)e^-t com P1 de grau 1.
Para o método de coeficientes a determinar, a forma padrão seria (A+Bt)e^-t, mas como -1 é raiz dupla, precisamos multiplicar por t^2.
Logo o “ansatz” correto é
yp(t)=t^2,(A+Bt),e^-t =l(A,t^3+B,t^2r)e^-t

Passo 3

Para verificar, escrevemos u(t)=A,t^3+B,t^2 e yp=u,e^-t.
Então
yp'= (u'-u),e^-t, yp''=(u''-2u'+u),e^-t
Substituindo em a,y''+b,y'+c,y=2t,e^-t e cancelando e^-t, obtemos um polinômio em t que deve ser igual a 2t.
Como o caract. se anula em r=-1, os coeficientes de t^3 e t^2 desaparecem automaticamente, sobrando das equações de t^1 e do termo constante os valores
A=13a, B=0
Assim uma solução particular é
yp(t)=13a,t^3,e^-t

Resposta

A forma proposta em (b), ;yp(t)=(A+Bt)e^-t, está incorreta.
O ansatz correto é
yp(t)=l(A,t^3+B,t^2r)e^-t,
e especificamente
yp(t)=13a,t^3,e^-t

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