In exercises 9-14, verify that the given choice of in the remainder estimate , where is the maximum value of on the interval between a and the indicated point, yields |Rn| <= 11000. Find the value of the Taylor polynomial pn of f at the indicated point. [T] raiz10 ; a=9, n=3
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem que verificar se, escolhendo n = 3 no estimativa do resto |Rn| <= M(n+1)!(x-a)^n+1 , onde M é o valor máximo de |f^(n+1)(z)| no intervalo entre a = 9 e o ponto indicado raiz10 , a gente consegue garantir que |Rn| <= 11000 . Depois disso, precisamos encontrar o polinômio de Taylor pn de f no ponto a .
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função que estamos trabalhando. Aqui, f(x) = raizx . Nosso centro é a = 9 e queremos aproximar em x = 10 .
Passo 3
Para usar a estimativa do resto, precisamos achar a quarta derivada de f(x) , já que n = 3 e n+1 = 4 . Vamos derivar f(x) = x^1/2 quatro vezes.
f(x) = x^1/2
f'(x) = 12x^-1/2
f''(x) = -14x^-3/2
f'''(x) = 38x^-5/2
f''''(x) = -1516x^-7/2
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o valor máximo de |f''''(x)| no intervalo entre 9 e 10. Como x^-7/2 é decrescente para x > 0 , o máximo ocorrerá em x = 9 .