In exercises 9-14, verify that the given choice of n in the remainder estimate |Rn| <= M(n+1)!(x-a)^n+1, where M is the maximum value of |f^(n+1)(z)| on the interval between a and the indicated point, yields |Rn| <= 11000. Find the value of the Taylor polynomial pn of f at the indicated point.
[T] raiz10 ; a=9, n=3

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem que verificar se, escolhendo n = 3 no estimativa do resto |Rn| <= M(n+1)!(x-a)^n+1 , onde M é o valor máximo de |f^(n+1)(z)| no intervalo entre a = 9 e o ponto indicado raiz10 , a gente consegue garantir que |Rn| <= 11000 . Depois disso, precisamos encontrar o polinômio de Taylor pn de f no ponto a .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que estamos trabalhando. Aqui, f(x) = raizx . Nosso centro é a = 9 e queremos aproximar em x = 10 .

Passo 3

Para usar a estimativa do resto, precisamos achar a quarta derivada de f(x) , já que n = 3 e n+1 = 4 . Vamos derivar f(x) = x^1/2 quatro vezes.
f(x) = x^1/2
f'(x) = 12x^-1/2
f''(x) = -14x^-3/2
f'''(x) = 38x^-5/2
f''''(x) = -1516x^-7/2

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o valor máximo de |f''''(x)| no intervalo entre 9 e 10. Como x^-7/2 é decrescente para x > 0 , o máximo ocorrerá em x = 9 .
M = |f''''(9)| = |-1516 cdot 9^-7/2| = 1516 cdot 9^-7/2
Calculando 9^-7/2 :
9^1/2 = 3 implies 9^-7/2 = 3^-7 = 12187
Então,
M = 1516 cdot 12187 approx 1516 cdot 0,000457 = 0,000429

Passo 5

Agora, aplicamos a estimativa do resto:
|R3| <= M4! cdot (10 - 9)^4
Sabendo que 4! = 24 e (10 - 9)^4 = 1 :
|R3| <= 0,00042924 approx 0,0000179
Como 0,0000179 <= 0,001 (que é 11000 ), a condição é satisfeita.

Passo 6

Agora, vamos construir o polinômio de Taylor p3(x) de grau 3 para f(x) = raizx em torno de a = 9 .
A fórmula geral do polinômio de Taylor é:
pn(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + f''(a)2!(x - a)^2 + f'''(a)3!(x - a)^3
Calculando cada termo:
f(9) = raiz9 = 3
f'(9) = 12 cdot 9^-1/2 = 12 cdot 3 = 16
f''(9) = -14 cdot 9^-3/2 = -14 cdot 27 = -1108
f'''(9) = 38 cdot 9^-5/2 = 38 cdot 243 = 1648
Substituindo na fórmula:
p3(x) = 3 + 16(x - 9) - 1108 cdot (x - 9)^22 + 1648 cdot (x - 9)^36
Simplificando:
p3(x) = 3 + 16(x - 9) - 1216(x - 9)^2 + 13888(x - 9)^3

Resposta

O polinômio de Taylor p3(x) de grau 3 para raizx em torno de a = 9 é:
p3(x) = 3 + 16(x - 9) - 1216(x - 9)^2 + 13888(x - 9)^3

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