As funções
e
são soluções fundamentais da equação diferencial
, com
e
. Uma solução particular de
é da forma:
c
.
c
Passo 1
O enunciado diz que as soluções fundamentais do homogêneo
são
logo a raiz característica é
de multiplicidade 2 (isto é,
e
). Queremos checar se um palpite de solução particular da não homogênea
pode ser
Passo 2
Calculemos
e
. Tomando
temos
Passo 3
Substituindo em
Agrupando em potências de
:
Portanto
Para ser igual a
precisaríamos
Mas, como da dupla raiz temos , o primeiro manda
(ok) e o segundo dá
o que é impossível.
Passo 4
Concluímos que não existe constante
tal que
seja solução particular. Quando o termo for
e a raiz
tiver multiplicidade 2, devemos multiplicar o palpite por
. A forma correta de palpite é
Resposta
O palpite
falha (nenhum
satisfaz), logo essa forma não é solução particular da equação dada.