As funções y1(t)=t e^-t e y2(t)=e^-t são soluções fundamentais da equação diferencial a y^prime prime+b y^prime+c y=0, com a, b, c in R e a neq 0. Uma solução particular de
a y^prime prime+b y^prime+c y=2 t e^-t
é da forma:
c y(t)=A t e^-t.

Passo 1

O enunciado diz que as soluções fundamentais do homogêneo
a,y''+b,y'+c,y=0
são
y1(t)=t,e^-t, y2(t)=e^-t,
logo a raiz característica é r=-1 de multiplicidade 2 (isto é, b=2a e c=a). Queremos checar se um palpite de solução particular da não homogênea
a,y''+b,y'+c,y=2,t,e^-t
pode ser
yp(t)=A,t,e^-t

Passo 2

Calculemos yp' e yp''. Tomando
yp(t)=A,t,e^-t,
temos
yp'(t) = Al(e^-t-t,e^-tr) = A,(1-t),e^-t,
yp''(t) = Al(-e^-t-(1-t)e^-tr) = A,(t-2),e^-t

Passo 3

Substituindo em
Agrupando em potências de :
Portanto
Para ser igual a precisaríamos
Mas, como da dupla raiz temos , o primeiro manda (ok) e o segundo dá
o que é impossível.

Passo 4

Concluímos que não existe constante A tal que yp(t)=A,t,e^-t seja solução particular. Quando o termo for t,e^-t e a raiz -1 tiver multiplicidade 2, devemos multiplicar o palpite por t^2. A forma correta de palpite é
yp(t)=l(A,t^3+B,t^2r)e^-t

Resposta

O palpite yp(t)=A,t,e^-t falha (nenhum A satisfaz), logo essa forma não é solução particular da equação dada.

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