As funções y1(t)=t e^-t e y2(t)=e^-t são soluções fundamentais da equação diferencial a y^prime prime+b y^prime+c y=0, com a, b, c in R e a neq 0. Uma solução particular de
a y^prime prime+b y^prime+c y=2 t e^-t
é da forma:
f y(t)=(A t+B t^2) e^-t.

Passo 1

O enunciado dá a EDO não-homogênea
a,y''+b,y'+c,y=2t,e^-t,
cuja homogênea tem soluções fundamentais
y1(t)=t,e^-t, y2(t)=e^-t
Isto significa que a raiz do polinômio característico é r=-1 de multiplicidade 2. Vamos aplicar o método dos coeficientes determinados: determinar a forma adequada de palpite para uma solução particular e depois achar suas constantes.

Passo 2

Como o termo forçante é 2t,e^-t e r=-1 é raiz dupla da homogênea, devemos multiplicar o palpite usual por t^2. Como 2t é um polinômio de grau 1, o palpite genérico é
yp(t)=t^2l(A,t+Br)e^-t ;=;l(A,t^3+B,t^2r)e^-t

Passo 3

Para facilitar a conta, escrevemos
p(t)=A,t^3+B,t^2, yp=e^-tp(t)
Então
yp'=e^-t(p'-p), yp''=e^-t(p''-2p'+p)

Passo 4

Calculemos as derivadas de p:
p'=3A,t^2+2B,t, p''=6A,t+2B
Substituindo em a(yp'' )+b(yp')+c(yp) e fatorando e^-t obtém-se um polinômio em t que deve coincidir com 2t. O cálculo leva a
al[p''-2p'+pr]+bl[p'-pr]+c,p =e^-tl(6aA,t+2aBr)

Passo 5

Igualando a 2t,e^-t dá o sistema
6aA=2, 2aB=0
Logo
A=13a, B=0
Portanto a solução particular é
yp(t)=13a,t^3,e^-t

Resposta

boxedyp(t)=13a,t^3,e^-t

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