As funções
e
são soluções fundamentais da equação diferencial
, com
e
. Uma solução particular de
é da forma:
f
.
f
Passo 1
O enunciado dá a EDO não-homogênea
cuja homogênea tem soluções fundamentais
Isto significa que a raiz do polinômio característico é
de multiplicidade 2. Vamos aplicar o método dos coeficientes determinados: determinar a forma adequada de palpite para uma solução particular e depois achar suas constantes.
Passo 2
Como o termo forçante é
e
é raiz dupla da homogênea, devemos multiplicar o palpite usual por
. Como
é um polinômio de grau 1, o palpite genérico é
Passo 3
Para facilitar a conta, escrevemos
Então
Passo 4
Calculemos as derivadas de
:
Substituindo em
e fatorando
obtém-se um polinômio em
que deve coincidir com
. O cálculo leva a
Passo 5
Igualando a
dá o sistema
Logo
Portanto a solução particular é