Instruçōes:
Questāo 3 (Exata/homogênea
ordem)
Qual a solução implícita final?
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Questāo 3 (Exata/homogênea
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial de primeira ordem que é homogênea e exata. A equação é:
Nosso objetivo aqui é encontrar a solução implícita dessa equação. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais exatas e homogêneas. Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação dada é exata. Uma equação diferencial na forma
é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
.
Aqui, temos:
Então, calculando as derivadas parciais:
Vemos que
, então a equação não é exata. Mas como ela é homogênea, podemos usar uma substituição para resolver.
Passo 3
Como a equação é homogênea, vamos fazer a substituição
, onde
é uma função de
. Isso nos ajuda a transformar a equação em uma que podemos resolver mais facilmente.
Com
, a derivada
em relação a
é:
Agora, substituímos
e
na equação original:
Simplificando:
Distribuindo:
Agrupando termos semelhantes:
Passo 4
Agora, vamos dividir toda a equação por
para simplificar:
Rearranjando:
Agora, temos uma equação separável, onde conseguimos separar as variáveis
e
.
Passo 5
Vamos integrar os dois lados da equação:
Integral do lado esquerdo:
Integral do lado direito:
Igualando as integrais (e ignorando as constantes por enquanto):
Passo 6
Lembrando que fizemos a substituição
, vamos substituir de volta para
:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por
:
Reorganizando termos:
Isso deixa a solução implícita mais complexa, mas podemos observar que a opção (D) se aproxima mais dessa forma de expressão.
Resposta
A solução implícita final é:
Alternativa (D)