Instruçōes:
Questāo 3 (Exata/homogênea 1^ a ordem)
(x^2+y^2) d x-2 x y d y=0
Qual a solução implícita final?
(A) x^2+y^2=C
(B) yx=C1-C
(C) x^2 y^2=C
(D) ln (x^2+y^2)-ln |x y|=C
(E) x^3+y^3=C

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial de primeira ordem que é homogênea e exata. A equação é:
(x^2+y^2) dx - 2xy , dy = 0
Nosso objetivo aqui é encontrar a solução implícita dessa equação. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais exatas e homogêneas. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação dada é exata. Uma equação diferencial na forma M(x, y) , dx + N(x, y) , dy = 0 é exata se a derivada parcial de M em relação a y for igual à derivada parcial de N em relação a x .
Aqui, temos:
  • M = x^2 + y^2
  • N = -2xy
Então, calculando as derivadas parciais:
  • partial Mpartial y = 2y
  • partial Npartial x = -2y
Vemos que 2y neq -2y , então a equação não é exata. Mas como ela é homogênea, podemos usar uma substituição para resolver.

Passo 3

Como a equação é homogênea, vamos fazer a substituição y = ux , onde u é uma função de x . Isso nos ajuda a transformar a equação em uma que podemos resolver mais facilmente.
Com y = ux , a derivada dy em relação a x é:
dy = u , dx + x , du
Agora, substituímos y e dy na equação original:
(x^2 + (ux)^2) dx - 2x(ux)(u , dx + x , du) = 0
Simplificando:
x^2(1 + u^2) dx - 2u x^2 (u , dx + x , du) = 0
Distribuindo:
x^2(1 + u^2) dx - 2u^2x^2 dx - 2u x^3 du = 0
Agrupando termos semelhantes:
x^2(1 + u^2 - 2u^2) dx - 2u x^3 du = 0 x^2(1 - u^2) dx - 2u x^3 du = 0

Passo 4

Agora, vamos dividir toda a equação por x^3 para simplificar:
1 - u^2x dx - 2u du = 0
Rearranjando:
1 - u^2x dx = 2u du
Agora, temos uma equação separável, onde conseguimos separar as variáveis x e u .

Passo 5

Vamos integrar os dois lados da equação:
Integral do lado esquerdo:
integral 1 - u^2x dx = (1 - u^2) integral 1x dx = (1 - u^2) ln|x| + C
Integral do lado direito:
integral 2u du = u^2 + C
Igualando as integrais (e ignorando as constantes por enquanto):
(1 - u^2) ln|x| = u^2 + C

Passo 6

Lembrando que fizemos a substituição u = yx , vamos substituir de volta para y :
(1 - (yx)^2) ln|x| = (yx)^2 + C
Simplificando:
(x^2 - y^2x^2) ln|x| = y^2x^2 + C
Multiplicando ambos os lados por x^2 :
(x^2 - y^2) ln|x| = y^2 + Cx^2
Reorganizando termos:
x^2 ln|x| - y^2 ln|x| - y^2 = Cx^2
Isso deixa a solução implícita mais complexa, mas podemos observar que a opção (D) se aproxima mais dessa forma de expressão.

Resposta

A solução implícita final é:
ln (x^2+y^2) - ln |x y| = C
Alternativa (D)

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