Instruçōes:
Questāo 4 (Independência linear: e^2 x e sin (2 x) )
phi1(x)=e^2 x, phi2(x)=sin (2 x)
Qual sentença é correta?
(A) Dependentes, pois não podem ser ambas de uma única EDO
(B) Wronskiano pode ser O, pois se anulam em alguns pontos
(C) Independentes, pois não há fator constante relacionando-as
(D) Independentes somente se x>0
(E) Dependentes no plano complexo, logo dependentes no real

Passo 1

O enunciado dá as funções
phi1(x)=e^2x e phi2(x)=sin(2x)
e pede para identificar qual sentença sobre a independência linear delas é correta.
O conteúdo envolvido é independência linear de funções e cálculo do Wronskiano.

Passo 2

Para verificar independência linear, lembramos que duas funções f e g são dependentes se existir constante k tal que g(x)=k,f(x) para todo x. Aqui
sin(2x)e^2x
é função de x e não uma constante, logo não há escalar k que relacione sin(2x) e e^2x. Isto já sugere independência.

Passo 3

Vamos computar o Wronskiano
W(x)= phi1(x) & phi2(x)[6pt] phi1'(x)& phi2'(x) = e^2x & sin(2x) 2e^2x & 2cos(2x) = e^2xcdot 2cos(2x) - sin(2x) cdot 2e^2x = 2e^2xl(cos(2x) - sin(2x)r)
Esse W(x) não é identicamente zero (embora se anule em pontos isolados, não numa vizinhança inteira). Pelo critério do Wronskiano, as funções são linearmente independentes.]

Passo 4

Concluímos que a alternativa correta é a (C): as funções são independentes, pois não há fator constante relacionando-as.

Resposta

(C)

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