Instruçōes:
Questāo 2 (Bernoulli:
)
Use
. Qual a solução geral em
?
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Questāo 2 (Bernoulli:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Passo 1
Vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo Bernoulli, já que envolve
. O enunciado sugere usarmos a substituição
. Para isso, precisamos reorganizar a equação e aplicar as técnicas apropriadas para equações de Bernoulli.
Passo 2
Primeiro, fazemos a substituição
. Assim, podemos expressar
em termos de
:
Agora, vamos encontrar a derivada de
em relação a
:
Passo 3
Substituímos
e
na equação original:
Passo 4
Vamos dividir toda a equação por
(considerando que
) para simplificar:
Agora, temos uma equação diferencial linear na forma padrão:
onde
e
.
Passo 5
Calculamos o fator integrante
:
Passo 6
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 7
Integramos ambos os lados em relação a
:
Calculando a integral:
Passo 8
Resolvemos para
:
No entanto, para simplificar e alinhar com as opções dadas, observamos que a constante pode ser absorvida, resultando em:
Passo 9
Lembrando que
, elevamos ambos os lados ao quadrado para encontrar
:
Resposta
A solução geral é
, correspondente à opção (C).