In exercises 1-8, find the Taylor polynomials of degree two approximating the given function centered at the given point.
f(x)=e^x at a=1

Passo 1

O enunciado pede o polinômio de Taylor de grau 2 para a função f(x)=e^x centrado em a=1. Para isso, vamos usar a fórmula geral do polinômio de Taylor de ordem 2 truncado em torno de a:
T2(x) = f(a) + f'(a),(x - a) + f''(a)2,(x - a)^2

Passo 2

Calculamos f, f' e f'' em x:
f(x)=e^x, f'(x)=e^x, f''(x)=e^x
Em particular, em a=1 temos
f(1)=e^1=e, f'(1)=e, f''(1)=e

Passo 3

Substituindo esses valores na fórmula de T2(x):
T2(x) = e + e,(x-1) + e2,(x-1)^2

Passo 4

Podemos fatorar e se quisermos deixar mais compacto:
T2(x) = el[1 + (x-1) + tfrac12(x-1)^2r]

Resposta

T2(x) = e + e,(x-1) + e2,(x-1)^2

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