Instruçōes:
Questāo 5 ( 2^ a ordem, coeficientes constantes, raízes complexas)
y^prime prime+2 y^prime+2 y=0
Raízes r=-1 pm i. Qual a solução real geral?
(A) y=A e^-x+B e^x
(B) y=A e^-x cos (x)+B e^-x sin (x)
(C) y=cos (raiz2 x)+sin (raiz2 x)
(D) y=A e^-x+B sin x
(E) y=(A+B x) e^-x

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear homogênea de 2ª ordem com coeficientes constantes
y'' + 2y' + 2y = 0,
cujo conteúdo é resolver pelo método da equação característica e tratar raízes complexas para obter a solução real geral.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada:
r^2 + 2r + 2 = 0
O discriminante é
De<a = 2^2 - 4cdot1cdot2 = 4 - 8 = -4
Logo as raízes são
r = -2 pm raiz-42 = -1 pm i

Passo 3

Sabendo que, para raízes complexas r = alpha pm ibeta, a solução real geral é
y = e^alpha xl(C1cos(beta x) + C2sin(beta x)r),
aqui temos alpha = -1 e beta = 1, logo
y = e^-xl(C1cos x + C2sin xr)

Passo 4

Comparando com as alternativas, isso corresponde exatamente a
y = A e^-xcos x + B e^-xsin x,
isto é, à alternativa (B).

Resposta

(B)

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