- Quais das funções seguintes tem um máximo ou mínimo em todo plano
?
(a)
(b)
(c)
.
(a)
(b)
(c)
Passo 1
O enunciado pede para verificar, em cada função definida em
, se existe ponto onde ela atinge um valor mínimo ou máximo global. Em termos práticos, vamos analisar o comportamento de cada função quando
, seu conjunto imagem e, quando necessário, localizar pontos críticos ou arestas onde o extremo possa ocorrer.
Passo 2
Para
note que
pode assumir quaisquer valores em
, pois para cada
basta escolher
e
tais que
. Logo
Não há valor mínimo atingido porque
(infimum
não é alcançado) e o supremo é
(não alcançado). Portanto não há mínimo nem máximo global.
Passo 3
Para
observe que para todo
temos
e a igualdade
ocorre exatamente em
. Como
quando
, o infimum é
(não alcançado) e o supremo é
, atingido em
. Logo há um máximo global igual a
em
, mas não há mínimo global.
Passo 4
Para
fixamos primeiro
e tratamos em
como uma função quadrática
Como o coeficiente de
é positivo, para cada
a expressão atinge mínimo em
com valor
Agora
varia entre
e
, então
O valor mais baixo dessa faixa é
, que ocorre quando
e simultaneamente
. Portanto há mínimo global igual a
. Como para
a função cresce sem limite, não existe máximo global.
Resposta
(a) nenhuma extrema global
(b) máximo global igual a em
(c) mínimo global igual a em
ou
,
.
(b) máximo global igual a
(c) mínimo global igual a