1. Quais das funções seguintes tem um máximo ou mínimo em todo plano R^2 ?
    (a) z=e^x^2-y^2
    (b) z=e^-x^2-y^2
    (c) z=x^2-2 x(sen y+cos y).

Passo 1

O enunciado pede para verificar, em cada função definida em R^2, se existe ponto onde ela atinge um valor mínimo ou máximo global. Em termos práticos, vamos analisar o comportamento de cada função quando |(x,y)|toinfty, seu conjunto imagem e, quando necessário, localizar pontos críticos ou arestas onde o extremo possa ocorrer.

Passo 2

Para z=e^x^2-y^2 note que x^2-y^2 pode assumir quaisquer valores em R, pois para cada tinR basta escolher x e y tais que x^2-y^2=t. Logo
e^x^2-y^2in(0,infty)
Não há valor mínimo atingido porque limytopminftye^x^2-y^2=0 (infimum 0 não é alcançado) e o supremo é +infty (não alcançado). Portanto não há mínimo nem máximo global.

Passo 3

Para z=e^-x^2-y^2 observe que para todo (x,y) temos
0<e^-x^2-y^2<=1,
e a igualdade e^-x^2-y^2=1 ocorre exatamente em (x,y)=(0,0). Como e^-x^2-y^2to0 quando |(x,y)|toinfty, o infimum é 0 (não alcançado) e o supremo é 1, atingido em (0,0). Logo há um máximo global igual a 1 em (0,0), mas não há mínimo global.

Passo 4

Para z=x^2-2x(sin y+cos y) fixamos primeiro y e tratamos em x como uma função quadrática
z=x^2-2x,g(y), g(y)=sin y+cos y
Como o coeficiente de x^2 é positivo, para cada y a expressão atinge mínimo em
x=g(y),
com valor
zmin(y)=-l(g(y)r)^2=-l(sin y+cos yr)^2
Agora sin y+cos y varia entre -raiz2 e raiz2, então
-l(sin y+cos yr)^2in[-2,0]
O valor mais baixo dessa faixa é -2, que ocorre quando sin y+cos y=pmraiz2 e simultaneamente x=pmraiz2. Portanto há mínimo global igual a -2. Como para |x|toinfty a função cresce sem limite, não existe máximo global.

Resposta

(a) nenhuma extrema global
(b) máximo global igual a 1 em (0,0)
(c) mínimo global igual a -2 em l(x,yr)=(raiz2,pi/4+2kpi) ou (-raiz2,5pi/4+2kpi), kinZ.

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