Nas funções a seguir, ache os extremos relativos de f pelo teste da derivada primeira; determine os intervalos onde f é crescente e onde é decrescente:
f(x)=x(x+1)^2

Passo 1

O enunciado pede para achar os extremos relativos de f(x)=x(x+1)^2 usando o teste da derivada primeira e, em seguida, determinar onde a função é crescente ou decrescente. O conteúdo aqui é cálculo de derivada, teste da derivada primeira e análise de sinal.

Passo 2

Para encontrar a derivada, usamos a regra do quociente. Se f(x)=u(x)v(x), então f'(x)=u'(x)v(x)-u(x)v'(x)v(x)^2. No nosso caso, u(x)=x e v(x)=(x+1)^2. Assim:
f'(x)&=1cdot(x+1)^2 - xcdot2(x+1)(x+1)^4 &=(x+1)^2 -2x(x+1)(x+1)^4 &=(x+1)[(x+1)-2x](x+1)^4 &=(x+1)(1-x)(x+1)^4 &=1-x(x+1)^3

Passo 3

Os pontos críticos vêm de f'(x)=0 ou de indeterminações. Temos f'(x)=0 quando 1-x=0, isto é, x=1. A derivada não existe em x=-1, mas aí a função está fora do domínio (denominador zero). Logo o único ponto crítico no domínio é x=1.

Passo 4

Para fazer o teste da derivada primeira, analisamos o sinal de f'(x)=1-x(x+1)^3 nos intervalos formados por -infty,-1,1,+infty:
– Em (-infty,-1), numerador 1-x>0 (pois x< -1) e denominador (x+1)^3<0, então f'(x)<0 e f decresce.
– Em (-1,1), numerador 1-x>0 e denominador (x+1)^3>0, então f'(x)>0 e f cresce.
– Em (1,infty), numerador 1-x<0 e denominador (x+1)^3>0, então f'(x)<0 e f decresce.

Passo 5

Como em x=1 a derivada muda de positiva para negativa, há um máximo relativo em x=1. O valor é f(1)=1(1+1)^2=14.

Passo 6

Concluindo, f cresce em (-1,1) e decresce em (-infty,-1) e (1,infty), com máximo relativo em (1,tfrac14).

Resposta

Máximo relativo em x=1 com f(1)=tfrac14; função crescente em (-1,1) e decrescente em (-infty,-1) e (1,infty).

Exercícios relacionados