Nas funções a seguir, ache os extremos relativos de
pelo teste da derivada primeira; determine os intervalos onde
é crescente e onde é decrescente:
Passo 1
O enunciado pede para achar os extremos relativos de
usando o teste da derivada primeira e, em seguida, determinar onde a função é crescente ou decrescente. O conteúdo aqui é cálculo de derivada, teste da derivada primeira e análise de sinal.
Passo 2
Para encontrar a derivada, usamos a regra do quociente. Se
, então
. No nosso caso,
e
. Assim:
Passo 3
Os pontos críticos vêm de
ou de indeterminações. Temos
quando
, isto é,
. A derivada não existe em
, mas aí a função está fora do domínio (denominador zero). Logo o único ponto crítico no domínio é
.
Passo 4
Para fazer o teste da derivada primeira, analisamos o sinal de
nos intervalos formados por
:
– Em , numerador
(pois
) e denominador
, então
e
decresce.
– Em , numerador
e denominador
, então
e
cresce.
– Em , numerador
e denominador
, então
e
decresce.
– Em
– Em
– Em
Passo 5
Como em
a derivada muda de positiva para negativa, há um máximo relativo em
. O valor é
.
Passo 6
Concluindo,
cresce em
e decresce em
e
, com máximo relativo em
.
Resposta
Máximo relativo em
com
; função crescente em
e decrescente em
e
.