Para as funções a seguir, encontre o Polinômio de Taylor de grau
em torno de
dado por
,
e use um software para plotar
e
na mesma tela.
Passo 1
A ideia aqui é aproximar a função
por um polinômio de Taylor de grau 3 em torno de
. Vamos usar a definição
o que envolve calcular
Passo 2
Começamos encontrando as derivadas de
. Como
é igual a todas as suas derivadas, temos para cada
$$f{(i)}(x)=ex.
$$
Passo 3
Agora aplicamos a fórmula de Taylor grau 3 em torno de
:
$$T_{3}(x)=\sum_{i=0}{3}\frac{f{(i)}(2)}{i!}(x-2)^{i}.
$$
Passo 4
Para visualizarmos a qualidade da aproximação, podemos usar Python e Matplotlib. Segue um exemplo de código para plotar
e
no mesmo gráfico:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.pyplot as plt
Definindo intervalo
x = np.linspace(0, 4, 400)
Função original
f = np.exp(x)
Polinômio de Taylor grau 3
T3 = np.exp(2)*(1 + (x-2) + (x-2)**2/2 + (x-2)**3/6)
plt.plot(x, f, label=‘e^x’)
plt.plot(x, T3, ‘–’, label=‘T_3(x) em a=2’)
plt.legend()
plt.xlabel(‘x’)
plt.ylabel(‘valor’)
plt.title(‘Comparação entre e^x e seu polinômio de Taylor grau 3’)
plt.grid(True)
plt.show()
plt.plot(x, T3, ‘–’, label=‘T_3(x) em a=2’)
plt.legend()
plt.xlabel(‘x’)
plt.ylabel(‘valor’)
plt.title(‘Comparação entre e^x e seu polinômio de Taylor grau 3’)
plt.grid(True)
plt.show()
Deste modo, teremos na mesma tela o gráfico de
e do polinômio de Taylor.
Passo 5
O polinômio de Taylor de grau 3 em torno de
fica:
$$T_{3}(x)=e^2\Bigl(1 + (x-2) + \frac{(x-2)^2}{2} + \frac{(x-2)^3}{6}\Bigr).
$$