Para as funções a seguir, encontre o Polinômio de Taylor de grau n em torno de a dado por
Tn(x)=sumi=0^n f^(i)(a)i!(x-a)^i,,
e use um software para plotar f e Tn na mesma tela.
f(x)=e^x, a=2, n=3

Passo 1

A ideia aqui é aproximar a função f(x)=e^x por um polinômio de Taylor de grau 3 em torno de a=2. Vamos usar a definição
Tn(x)=sumi=0^nf^(i)(a)i!(x-a)^i,
o que envolve calcular f e suas derivadas até a ordem 3 avaliadas em x=2.

Passo 2

Começamos encontrando as derivadas de f(x)=e^x. Como e^x é igual a todas as suas derivadas, temos para cada i>=0
$$f{(i)}(x)=ex.
f^(i)(x)=e^x f(2)=f’(2)=f’’(2)=f’’’(2)=e^2.
$$

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula de Taylor grau 3 em torno de a=2:
$$T_{3}(x)=\sum_{i=0}{3}\frac{f{(i)}(2)}{i!}(x-2)^{i}.
T3(x)=sumi=0^3f^(i)(2)i!(x-2)^i T_{3}(x)=e^2\Bigl(1 + (x-2) + \frac{(x-2)^2}{2!} + \frac{(x-2)^3}{3!}\Bigr).
$$

Passo 4

Para visualizarmos a qualidade da aproximação, podemos usar Python e Matplotlib. Segue um exemplo de código para plotar f(x) e T3(x) no mesmo gráfico:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

Definindo intervalo

x = np.linspace(0, 4, 400)

Função original

f = np.exp(x)

Polinômio de Taylor grau 3

T3 = np.exp(2)*(1 + (x-2) + (x-2)**2/2 + (x-2)**3/6)
plt.plot(x, f, label=‘e^x’)
plt.plot(x, T3, ‘–’, label=‘T_3(x) em a=2’)
plt.legend()
plt.xlabel(‘x’)
plt.ylabel(‘valor’)
plt.title(‘Comparação entre e^x e seu polinômio de Taylor grau 3’)
plt.grid(True)
plt.show()
Deste modo, teremos na mesma tela o gráfico de e^x e do polinômio de Taylor.

Passo 5

O polinômio de Taylor de grau 3 em torno de a=2 fica:
$$T_{3}(x)=e^2\Bigl(1 + (x-2) + \frac{(x-2)^2}{2} + \frac{(x-2)^3}{6}\Bigr).
$$

Resposta

T3(x)=e^2l(1 + (x-2) + tfrac(x-2)^22 + tfrac(x-2)^36r)

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