Seja T uma transformação linear dada por [T]=\left[\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 3 \\\\ 0 & 1 & 0\end{array}\right]. Qual dos conjuntos representa o núcleo N(T) ?
(a) N(T)=\{(0,0,0)\}
(b) N(T)=\{(6,0,2)\}
(c) N(T)=\{t(3,0,1) \mid t \in \mathbb{R}\}
(d) N(T)=[(3,0,-1)]

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T\colon \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 com matriz
[T] = \begin{pmatrix}-1 & 0 & 3\\[6pt]0 & 1 & 0\end{pmatrix},
e pede o núcleo N(T). Para isso, vamos usar a definição de núcleo (ou espaço nulo):
N(T)=\{\,v\in\mathbb{R}^3 \mid T(v)=0\}.]

Passo 2

Escrevendo v=(x,y,z), temos
T(x,y,z)=\bigl(-x+3z,\;y\bigr),
pois a primeira linha da matriz multiplica (x,y,z) para dar -x+3z e a segunda linha dá y.

Passo 3

Para v estar no núcleo, precisamos de
T(x,y,z) = (0,0),
ou seja do sistema
\begin{cases} -x+3z = 0,\\\ y = 0. \end{cases}

Passo 4

Da segunda equação vem y=0. Da primeira temos -x+3z=0\implies x=3z. Seja t\in\mathbb{R} o parâmetro igual a z. Então
(x,y,z)=(3t,\,0,\,t)=t\,(3,0,1).
Logo o núcleo é o subespaço gerado pelo vetor (3,0,1):
N(T)=\{t\,(3,0,1)\mid t\in\mathbb{R}\}.

Passo 5

Comparando com as alternativas, isso corresponde à letra (c).

Resposta

(c) N(T)=\{t(3,0,1)\mid t\in\mathbb{R}\}

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