^ Q QuestJ̄o.(2,5 pts) Determine a equação do plano que passa pelo ponto (3,2,1) e contém a reta dada por:
x=3 t, y=1-t, z=2+t

Passo 1

A questão pede a equação do plano que passa pelo ponto (3,2,1) e contém a reta dada por x=3t, y=1-t e z=2+t. O tema é geometria analítica de planos e vamos precisar de um ponto do plano e de um vetor normal ao plano, que vamos obter via produto vetorial de dois vetores diretores.

Passo 2

Primeiro, defino o ponto P=(3,2,1) e escolho um ponto qualquer da reta. Para t=0 obtemos Q=(0,1,2). O vetor diretor da reta vem dos coeficientes de t nas equações e é v=(3,-1,1).

Passo 3

Agora construo o vetor w que liga P a Q:
w=Q-P=(0-3,;1-2,;2-1)=(-3,-1,1)

Passo 4

Para achar um vetor normal n ao plano, faço o produto vetorial n=vtimesw. Primeiro escrevo:
v=lang<=3,-1,1rang<=, w=lang<=-3,-1,1rang<=
Depois calculo:
n=eginvmatrix i & j & k 3 & -1 & 1 -3 & -1 & 1 =lang<=0,-6,-6rang<=
Posso simplificar para n=lang<=0,1,1rang<=.

Passo 5

Com o vetor normal n=(0,1,1) e o ponto P=(3,2,1), a equação do plano em forma ponto-normal é:
0(x-3)+1(y-2)+1(z-1)=0
Isso dá
y-2+z-1=0,
ou seja
y+z-3=0

Resposta

y+z-3=0

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