A média aritmética entre dois números é 5, e a média ponderada entre esses números, com pesos 2 e 3, é igual a 5,2. Assim, podemos afirmar que o produto entre esses números é:
A) 14
B) 15
C) 18
D) 20
E) 24
A) 14
B) 15
C) 18
D) 20
E) 24
Passo 1
Vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre média aritmética e média ponderada entre dois números, e a gente precisa encontrar o produto desses números. Para isso, vamos usar fórmulas de médias e álgebra básica. Vamos precisar montar algumas equações para descobrir os números e então calcular o produto deles.
Passo 2
Primeiro, vamos chamar os dois números de $ x $ e $ y $. A média aritmética deles é dada por:
Isso significa que a soma dos números dividida por 2 é igual a 5.
Passo 3
Vamos resolver essa equação para encontrar a soma dos números:
Então, a soma de $ x $ e $ y $ é 10.
Passo 4
Agora, vamos usar a média ponderada. A média ponderada com pesos 2 e 3 é dada por:
Simplificando os denominadores:
Passo 5
Vamos multiplicar ambos os lados por 5 para eliminar o denominador:
Agora temos uma segunda equação: $ 2x + 3y = 26 $.
Passo 6
Agora, temos um sistema de duas equações:
- $ x + y = 10 $
- $ 2x + 3y = 26 $
Podemos resolver esse sistema para encontrar os valores de $ x $ e $ y $.
Passo 7
Da primeira equação, podemos isolar $ x $:
Agora, substituímos esse valor na segunda equação:
Passo 8
Agora que sabemos que $ y = 6 $, substituímos na equação $ x = 10 - y $:
Então, os números são 4 e 6.
Passo 9
Finalmente, vamos calcular o produto desses números:
Resposta
A alternativa correta é a E) 24.