onde v_{F} é a velocidade de Fermi, \tau_{F} \equiv \tau_{|\boldsymbol{k}|=k_{F}} e g\left(E_{F}\right) é a densidade de estados no nível de Fermi, g\left(E_{F}\right)=\frac{2^{1 / 2} m^{3 / 2}}{\pi^{2} \hbar^{3}} E_{F}^{1 / 2}.
b) Coincide com a fórmula de Drude quando E(\vec{k})=\frac{\hbar^{2} k^{2}}{2 m_{0}}.
Passo 1
O enunciado fornece a fórmula quase-clássica da condutividade
b) que, no caso do elétron livre com E(\vec{k})=\dfrac{\hbar^{2}k^{2}}{2m_{0}}, a fórmula acima coincide com a fórmula de Drude \sigma = \dfrac{n e^{2}\tau}{m_{0}}.
Informações/restrições relevantes (vindas do enunciado ou normalmente assumidas no modelo eletrões quase livres):
O integral é sobre a superfície de Fermi E(\vec{k})=E_F.
Em metais simples, a superfície de Fermi é aproximadamente esférica (dispersão isotrópica no modelo quase-livre).
Para simplificar a expressão pedida, será usado que sobre a superfície de Fermi a velocidade tem magnitude aproximadamente constante v_{\vec{k}}=v_{F} e que \tau_{\vec{k}} varia pouco, logo \tau_{\vec{k}}\approx\tau_{F}.
Passo 2
Relacionar \partial E/\partial\vec{k} com a velocidade e reescrever o integrando.
Definição física importante: a velocidade de um estado \vec{k} é
Especializar para superfície de Fermi esférica (dispersão isotrópica) e aproximar \tau_{\vec{k}} por \tau_{F}.
Se a dispersão é isotrópica (quase-elétrons livres, E(\vec{k}) depende só de k=|\vec{k}|), a superfície de Fermi é uma esfera de raio k_{F}. Nessa superfície a velocidade tem direção radial e magnitude constante v_{\vec{k}}=v_{F}. Além disso aproximamos \tau_{\vec{k}}\approx\tau_{F} (constante sobre a superfície). Então
Agora introduzimos a densidade de estados no nível de Fermi em termos de grandezas \vec{k}. A densidade de estados por unidade de volume pode ser escrita (a partir da definição padrão) como
Mas a densidade de elétrons n (por volume) para elétrons livres com spin 1/2 é
n=\frac{k_{F}^{3}}{3\pi^{2}}.
Portanto
\frac{1}{3}v_{F}^{2}g(E_{F})=\frac{n}{m_{0}}.
Substituindo em \sigma=\dfrac{e^{2}}{3}v_{F}^{2}\tau_{F}g(E_{F}) obtemos
\sigma = \frac{e^{2}n\tau_{F}}{m_{0}},
que é exatamente a fórmula de Drude com \tau=\tau_{F}. Assim a expressão do item (a) coincide com Drude no caso parabólico.
Passo 7
Resumo das hipóteses feitas e comentário final (rápido e motivador).
Hipóteses usadas:
dispersão isotrópica (superfície de Fermi esférica);
\tau_{\vec{k}} aproximadamente constante sobre a superfície de Fermi (\tau_{\vec{k}}\approx\tau_{F});
relação clássica \vec{v}_{\vec{k}}=(1/\hbar)\nabla_{\vec{k}}E.
Com essas aproximações a fórmula geral do início reduz-se à forma compacta do item (a) e, para E(\vec{k})=\hbar^{2}k^{2}/(2m_{0}), à fórmula de Drude. Força na prova — se chegar uma destas integrais, agora já sabe o caminho: trocar para coordenadas angulares, usar simetria e relacionar com a DOS.