Obtenha a expressão explícita para a condutividade elétrica no modelo de eletrões quase livres a partir da fórmula quase clássica:
\sigma=\frac{2 e^{2}}{(2 \pi)^{3}} \int_{E(\vec{k})=E_{F}} \frac{\left(\hat{e} \cdot \vec{v}_{\vec{k}}\right)^{2} \tau_{\vec{k}} d A_{\vec{k}}}{\left|\frac{\partial E(\vec{k})}{\partial \vec{k}}\right|}
Mostre que esta fórmula:
a) Pode ser escrita na forma:
\sigma=\frac{e^{2}}{3} v_{F}^{2} \tau_{F} g\left(E_{F}\right)
onde v_{F} é a velocidade de Fermi, \tau_{F} \equiv \tau_{|\boldsymbol{k}|=k_{F}} e g\left(E_{F}\right) é a densidade de estados no nível de Fermi, g\left(E_{F}\right)=\frac{2^{1 / 2} m^{3 / 2}}{\pi^{2} \hbar^{3}} E_{F}^{1 / 2}.
b) Coincide com a fórmula de Drude quando E(\vec{k})=\frac{\hbar^{2} k^{2}}{2 m_{0}}.

Passo 1

O enunciado fornece a fórmula quase-clássica da condutividade
\sigma=\frac{2 e^{2}}{(2 \pi)^{3}} \int_{E(\vec{k})=E_{F}} \frac{\left(\hat{e} \cdot \vec{v}_{\vec{k}}\right)^{2} \tau_{\vec{k}}\, d A_{\vec{k}}}{\left|\frac{\partial E(\vec{k})}{\partial \vec{k}}\right|}
e pede que se mostre:
a) que essa expressão pode ser escrita como
\sigma=\frac{e^{2}}{3} v_{F}^{2} \tau_{F} g\left(E_{F}\right),
onde \;v_{F} é a velocidade de Fermi, \tau_{F}\equiv\tau_{|\vec{k}|=k_{F}} e a densidade de estados no nível de Fermi é dada por
g\left(E_{F}\right)=\frac{2^{1/2} m^{3/2}}{\pi^{2}\hbar^{3}}E_{F}^{1/2}.
b) que, no caso do elétron livre com E(\vec{k})=\dfrac{\hbar^{2}k^{2}}{2m_{0}}, a fórmula acima coincide com a fórmula de Drude \sigma = \dfrac{n e^{2}\tau}{m_{0}}.
Informações/restrições relevantes (vindas do enunciado ou normalmente assumidas no modelo eletrões quase livres):
  • O integral é sobre a superfície de Fermi E(\vec{k})=E_F.
  • Em metais simples, a superfície de Fermi é aproximadamente esférica (dispersão isotrópica no modelo quase-livre).
  • Para simplificar a expressão pedida, será usado que sobre a superfície de Fermi a velocidade tem magnitude aproximadamente constante v_{\vec{k}}=v_{F} e que \tau_{\vec{k}} varia pouco, logo \tau_{\vec{k}}\approx\tau_{F}.

Passo 2

Relacionar \partial E/\partial\vec{k} com a velocidade e reescrever o integrando.
Definição física importante: a velocidade de um estado \vec{k} é
\vec{v}_{\vec{k}}=\frac{1}{\hbar}\frac{\partial E(\vec{k})}{\partial \vec{k}}.
Dessa relação segue que a magnitude do gradiente é
\left|\frac{\partial E(\vec{k})}{\partial \vec{k}}\right|=\hbar\, v_{\vec{k}}.
Substituindo na expressão dada para \sigma obtemos
\sigma=\frac{2 e^{2}}{(2 \pi)^{3}} \int_{E(\vec{k})=E_{F}} \frac{\left(\hat{e}\cdot\vec{v}_{\vec{k}}\right)^{2}\tau_{\vec{k}}\, dA_{\vec{k}}}{\hbar\, v_{\vec{k}}}.
Factorizando 1/\hbar:
\sigma=\frac{2 e^{2}}{\hbar(2 \pi)^{3}} \int_{E(\vec{k})=E_{F}} \frac{\left(\hat{e}\cdot\vec{v}_{\vec{k}}\right)^{2}}{v_{\vec{k}}}\,\tau_{\vec{k}}\, dA_{\vec{k}}.

Passo 3

Especializar para superfície de Fermi esférica (dispersão isotrópica) e aproximar \tau_{\vec{k}} por \tau_{F}.
Se a dispersão é isotrópica (quase-elétrons livres, E(\vec{k}) depende só de k=|\vec{k}|), a superfície de Fermi é uma esfera de raio k_{F}. Nessa superfície a velocidade tem direção radial e magnitude constante v_{\vec{k}}=v_{F}. Além disso aproximamos \tau_{\vec{k}}\approx\tau_{F} (constante sobre a superfície). Então
\frac{\left(\hat{e}\cdot\vec{v}_{\vec{k}}\right)^{2}}{v_{\vec{k}}}\,\tau_{\vec{k}} = \frac{v_{F}^{2}(\hat{e}\cdot\hat{k})^{2}}{v_{F}}\,\tau_{F} = v_{F}\,\tau_{F}\,(\hat{e}\cdot\hat{k})^{2},
onde \hat{k}=\vec{k}/k é o versor radial. Substituindo no integral:
\sigma=\frac{2 e^{2}}{\hbar(2 \pi)^{3}}\,v_{F}\tau_{F} \int_{E(\vec{k})=E_{F}} (\hat{e}\cdot\hat{k})^{2}\, dA_{\vec{k}}.

Passo 4

Avaliar o integral angular sobre a esfera de Fermi.
Na esfera de raio k_{F} tem-se dA_{\vec{k}}=k_{F}^{2}\, d\Omega, onde d\Omega é o elemento de ângulo sólido. Então
\int_{E(\vec{k})=E_{F}} (\hat{e}\cdot\hat{k})^{2}\, dA_{\vec{k}} = k_{F}^{2}\int_{S^{2}} (\hat{e}\cdot\hat{k})^{2}\, d\Omega.
Pelo argumento de simetria, sem perda de generalidade escolha o eixo z paralelo a \hat{e}. Então (\hat{e}\cdot\hat{k})^{2}=\cos^{2}\theta e
\int_{S^{2}} \cos^{2}\theta\, d\Omega =2\pi\int_{0}^{\pi} \cos^{2}\theta\sin\theta\, d\theta.
Fazendo a substituição u=\cos\theta ( du=-\sin\theta\, d\theta):
2\pi\int_{-1}^{1} u^{2}\, du = 2\pi\left[\frac{u^{3}}{3}\right]_{-1}^{1}=2\pi\cdot\frac{2}{3}=\frac{4\pi}{3}.
Logo
\int_{E(\vec{k})=E_{F}} (\hat{e}\cdot\hat{k})^{2}\, dA_{\vec{k}}=k_{F}^{2}\cdot\frac{4\pi}{3}.

Passo 5

Combinar os fatores para obter uma forma intermediária e relacioná-la com a densidade de estados.
Substituindo o resultado do passo anterior em \sigma:
\sigma=\frac{2 e^{2}}{\hbar(2 \pi)^{3}}\,v_{F}\tau_{F}\,k_{F}^{2}\cdot\frac{4\pi}{3}.
Simplificando os fatores numéricos:
\frac{2}{(2\pi)^{3}}\cdot 4\pi = \frac{8\pi}{8\pi^{3}}=\frac{1}{\pi^{2}},
portanto
\sigma=\frac{e^{2}}{3}\,\frac{v_{F}\tau_{F}\,k_{F}^{2}}{\pi^{2}\hbar}.
Agora introduzimos a densidade de estados no nível de Fermi em termos de grandezas \vec{k}. A densidade de estados por unidade de volume pode ser escrita (a partir da definição padrão) como
g(E_{F})=\frac{2}{(2\pi)^{3}}\int_{E(\vec{k})=E_{F}} \frac{dA_{\vec{k}}}{\left|\frac{\partial E}{\partial\vec{k}}\right|} = \frac{2}{(2\pi)^{3}}\int_{E(\vec{k})=E_{F}} \frac{dA_{\vec{k}}}{\hbar v_{\vec{k}}}.
Para superfície esférica com v_{\vec{k}}=v_{F},
g(E_{F})=\frac{2}{(2\pi)^{3}}\cdot\frac{1}{\hbar v_{F}}\cdot 4\pi k_{F}^{2} = \frac{k_{F}^{2}}{\pi^{2}\hbar v_{F}}.
Rearranjando essa relação para \dfrac{k_{F}^{2}}{\pi^{2}\hbar} = v_{F}\, g(E_{F}) e substituindo na expressão de \sigma do passo anterior dá:
\sigma=\frac{e^{2}}{3}\,v_{F}\tau_{F}\,(v_{F} g(E_{F}))=\frac{e^{2}}{3}\,v_{F}^{2}\,\tau_{F}\,g(E_{F}).
Isto é exatamente a forma pedida no item (a).

Passo 6

Mostrar que, para E(\vec{k})=\dfrac{\hbar^{2}k^{2}}{2m_{0}}, a fórmula reduz à expressão de Drude.
Para elétron livre:
v_{F}=\frac{1}{\hbar}\frac{\partial E}{\partial k}\Big|_{k_{F}}=\frac{\hbar k_{F}}{m_{0}}.
A densidade de estados fornecida no enunciado é
g(E_{F})=\frac{2^{1/2} m^{3/2}}{\pi^{2}\hbar^{3}} E_{F}^{1/2}.
Uma forma alternativa (útil) é expressar g(E_{F}) em termos de k_{F}. Como E_{F}=\dfrac{\hbar^{2}k_{F}^{2}}{2m_{0}}, tem-se
g(E_{F})=\frac{2^{1/2} m^{3/2}}{\pi^{2}\hbar^{3}}\left(\frac{\hbar k_{F}}{\sqrt{2m_{0}}}\right) = \frac{m_{0}k_{F}}{\pi^{2}\hbar^{2}}.
Agora calcule \dfrac{1}{3}v_{F}^{2}g(E_{F}):
\frac{1}{3}v_{F}^{2}g(E_{F}) = \frac{1}{3}\left(\frac{\hbar k_{F}}{m_{0}}\right)^{2}\left(\frac{m_{0}k_{F}}{\pi^{2}\hbar^{2}}\right) = \frac{k_{F}^{3}}{3\pi^{2}m_{0}}.
Mas a densidade de elétrons n (por volume) para elétrons livres com spin 1/2 é
n=\frac{k_{F}^{3}}{3\pi^{2}}.
Portanto
\frac{1}{3}v_{F}^{2}g(E_{F})=\frac{n}{m_{0}}.
Substituindo em \sigma=\dfrac{e^{2}}{3}v_{F}^{2}\tau_{F}g(E_{F}) obtemos
\sigma = \frac{e^{2}n\tau_{F}}{m_{0}},
que é exatamente a fórmula de Drude com \tau=\tau_{F}. Assim a expressão do item (a) coincide com Drude no caso parabólico.

Passo 7

Resumo das hipóteses feitas e comentário final (rápido e motivador).
Hipóteses usadas:
  • dispersão isotrópica (superfície de Fermi esférica);
  • \tau_{\vec{k}} aproximadamente constante sobre a superfície de Fermi ( \tau_{\vec{k}}\approx\tau_{F});
  • relação clássica \vec{v}_{\vec{k}}=(1/\hbar)\nabla_{\vec{k}}E.
Com essas aproximações a fórmula geral do início reduz-se à forma compacta do item (a) e, para E(\vec{k})=\hbar^{2}k^{2}/(2m_{0}), à fórmula de Drude. Força na prova — se chegar uma destas integrais, agora já sabe o caminho: trocar para coordenadas angulares, usar simetria e relacionar com a DOS.

Resposta

\sigma=\dfrac{e^{2}}{3}\,v_{F}^{2}\,\tau_{F}\,g(E_{F})
\sigma=\dfrac{n e^{2}\tau_{F}}{m_{0}}

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