Obtenha a expressão para a densidade de estados electrónicos no fundo da banda de condução dum semicondutor onde a massa efetiva é anisotrópica, com os valores principais m_{x x}=m_{y y}=m_{\perp}, m_{z z}=m_{\|}.
Como influencia a densidade de estados a existência de vários mínimos, equivalentes pela simetria, como é o caso do silício?
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
Dá que a massa efetiva é anisotrópica com componentes principais \,m_{xx}=m_{yy}=m_{\perp}\, e \,m_{zz}=m_{\|}\,.
Pede a expressão da densidade de estados eletrónicos no fundo da banda de condução (isto é, perto do mínimo da banda) para esse caso anisotrópico.
Pede também explicar como a existência de vários mínimos equivalentes (valleys) pela simetria — como no silício — influencia a densidade de estados.
Passo 2
Modelo físico e aproximação utilizada (explicação didática):
Perto de um mínimo de banda a dispersão é parabólica e anisotrópica. Escrevemos a energia em função do vetor de onda \mathbf{k}=(k_x,k_y,k_z) como
onde E_c é a energia do fundo da banda e m_x,m_y,m_z são as massas efetivas ao longo dos eixos principais. Aqui especificamente usamos m_x=m_y=m_{\perp} e m_z=m_{\|}.
Definimos a energia medida a partir do fundo da banda:
\varepsilon \equiv E-E_c \ge 0.
Método escolhido: contar estados no espaço \mathbf{k} com energia menor que E (ou seja \varepsilon), e depois derivar para obter a densidade de estados g(E)=\dfrac{dN}{dE}. Esse método evita a utilização directa da fórmula de superfície de energia e é muito didático.
Passo 3
Transformação que reduz o problema anisotrópico a um problema esférico:
A equação \varepsilon = \dfrac{\hbar^2}{2}\!\left(\dfrac{k_x^2}{m_x}+\dfrac{k_y^2}{m_y}+\dfrac{k_z^2}{m_z}\right) pode ser posta como uma esfera em coordenadas escaladas definindo
Cada estado de \mathbf{k} ocupa volume (2\pi)^3 em \mathbf{k}-espaço (princípio de quantização periódica) e há factor de degenerescência de spin igual a 2.
Logo o número de estados por unidade de volume real com energia menor que E é
N(E)= \frac{2}{(2\pi)^3}\,V_k(\varepsilon).
Substituindo V_k(\varepsilon) e simplificando os factores constantes:
Influência de vários mínimos equivalentes (valley degeneracy):
Se a estrutura do cristal tem g_v mínimos de condução equivalentes por simetria (cada um com a mesma dispersão local), então a densidade total de estados na banda de condução é a soma das contribuições de cada valley, isto é simplesmente um factor g_v:
g_{\text{total}}(E)=g_v\;g_{\text{valley}}(E).
Exemplo concreto: no silício há g_v=6 valleys equivalentes; portanto a DOS total perto do fundo da banda é seis vezes a DOS de uma única elipsoide.