Obtenha a expressão para a densidade de estados electrónicos no fundo da banda de condução dum semicondutor onde a massa efetiva é anisotrópica, com os valores principais m_{x x}=m_{y y}=m_{\perp}, m_{z z}=m_{\|}.
Como influencia a densidade de estados a existência de vários mínimos, equivalentes pela simetria, como é o caso do silício?

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dá que a massa efetiva é anisotrópica com componentes principais \,m_{xx}=m_{yy}=m_{\perp}\, e \,m_{zz}=m_{\|}\,.
  • Pede a expressão da densidade de estados eletrónicos no fundo da banda de condução (isto é, perto do mínimo da banda) para esse caso anisotrópico.
  • Pede também explicar como a existência de vários mínimos equivalentes (valleys) pela simetria — como no silício — influencia a densidade de estados.

Passo 2

Modelo físico e aproximação utilizada (explicação didática):
  • Perto de um mínimo de banda a dispersão é parabólica e anisotrópica. Escrevemos a energia em função do vetor de onda \mathbf{k}=(k_x,k_y,k_z) como
E(\mathbf{k}) = E_c + \frac{\hbar^2}{2}\!\left(\frac{k_x^2}{m_x}+\frac{k_y^2}{m_y}+\frac{k_z^2}{m_z}\right),
onde E_c é a energia do fundo da banda e m_x,m_y,m_z são as massas efetivas ao longo dos eixos principais. Aqui especificamente usamos m_x=m_y=m_{\perp} e m_z=m_{\|}.
  • Definimos a energia medida a partir do fundo da banda:
\varepsilon \equiv E-E_c \ge 0.
  • Método escolhido: contar estados no espaço \mathbf{k} com energia menor que E (ou seja \varepsilon), e depois derivar para obter a densidade de estados g(E)=\dfrac{dN}{dE}. Esse método evita a utilização directa da fórmula de superfície de energia e é muito didático.

Passo 3

Transformação que reduz o problema anisotrópico a um problema esférico:
  • A equação \varepsilon = \dfrac{\hbar^2}{2}\!\left(\dfrac{k_x^2}{m_x}+\dfrac{k_y^2}{m_y}+\dfrac{k_z^2}{m_z}\right) pode ser posta como uma esfera em coordenadas escaladas definindo
q_i \equiv \frac{k_i}{\sqrt{m_i}}\quad\text{para }i=x,y,z.
  • Com isso obtemos
q_x^2+q_y^2+q_z^2 = \frac{2\varepsilon}{\hbar^2}\equiv q_0^2,
ou seja, a região \varepsilon(k)\le\varepsilon é uma esfera de raio q_0=\sqrt{2\varepsilon/\hbar^2} no espaço \mathbf{q}.

Passo 4

Jacobiano da transformação e volume no espaço \mathbf{k}:
  • A transformação k_i=\sqrt{m_i}\,q_i tem Jacobiano absoluto
\left|\frac{\partial(k_x,k_y,k_z)}{\partial(q_x,q_y,q_z)}\right| = \sqrt{m_x m_y m_z}.
  • O volume no espaço \mathbf{k} dos estados com energia menor que E é, portanto,
V_k(\varepsilon)=\sqrt{m_x m_y m_z}\times\text{(volume da esfera de raio }q_0) =\sqrt{m_x m_y m_z}\cdot\frac{4\pi}{3}q_0^3.
  • Substituindo q_0 obtemos
V_k(\varepsilon)=\sqrt{m_x m_y m_z}\cdot\frac{4\pi}{3}\left(\frac{2\varepsilon}{\hbar^2}\right)^{3/2}.

Passo 5

Contagem de estados e expressão para N(E):
  • Cada estado de \mathbf{k} ocupa volume (2\pi)^3 em \mathbf{k}-espaço (princípio de quantização periódica) e há factor de degenerescência de spin igual a 2.
  • Logo o número de estados por unidade de volume real com energia menor que E é
N(E)= \frac{2}{(2\pi)^3}\,V_k(\varepsilon).
  • Substituindo V_k(\varepsilon) e simplificando os factores constantes:
N(E)=\frac{2}{(2\pi)^3}\cdot\sqrt{m_x m_y m_z}\cdot\frac{4\pi}{3}\left(\frac{2\varepsilon}{\hbar^2}\right)^{3/2} =\frac{1}{3\pi^2}\sqrt{m_x m_y m_z}\left(\frac{2\varepsilon}{\hbar^2}\right)^{3/2}.

Passo 6

Derivação para obter a densidade de estados g(E):
  • A densidade de estados por unidade de volume e por unidade de energia é
g(E)=\frac{dN}{dE}=\frac{dN}{d\varepsilon}\cdot\frac{d\varepsilon}{dE}=\frac{dN}{d\varepsilon},
pois \varepsilon=E-E_c e d\varepsilon/dE=1.
  • Diferenciando N em função de \varepsilon (lembrando que N\propto\varepsilon^{3/2}):
g(E)=\frac{d}{d\varepsilon}\left[\frac{1}{3\pi^2}\sqrt{m_x m_y m_z}\left(\frac{2\varepsilon}{\hbar^2}\right)^{3/2}\right] =\frac{1}{2\pi^2}\sqrt{m_x m_y m_z}\left(\frac{2}{\hbar^2}\right)^{3/2}\sqrt{\varepsilon}.
  • Esta forma pode ser escrita de maneira mais habitual introduzindo a massa efetiva de densidade de estados
m_{\mathrm{dos}} \equiv (m_x m_y m_z)^{1/3},
pois então (m_{\mathrm{dos}})^{3/2}=(m_x m_y m_z)^{1/2}=\sqrt{m_x m_y m_z}. Assim
g(E)=\frac{1}{2\pi^2}\left(\frac{2m_{\mathrm{dos}}}{\hbar^2}\right)^{3/2}\sqrt{E-E_c}.

Passo 7

Aplicação ao caso dado \,m_x=m_y=m_{\perp},\,m_z=m_{\|}:
  • Para os valores principais dados,
m_{\mathrm{dos}}=(m_{\|}\,m_{\perp}^2)^{1/3}.
  • Portanto a densidade de estados por unidade de volume e por unidade de energia, por mínima de banda (por valley), é
g_{\text{valley}}(E)=\frac{1}{2\pi^2}\left(\frac{2(m_{\|}m_{\perp}^2)^{1/3}}{\hbar^2}\right)^{3/2}\sqrt{E-E_c}.

Passo 8

Influência de vários mínimos equivalentes (valley degeneracy):
  • Se a estrutura do cristal tem g_v mínimos de condução equivalentes por simetria (cada um com a mesma dispersão local), então a densidade total de estados na banda de condução é a soma das contribuições de cada valley, isto é simplesmente um factor g_v:
g_{\text{total}}(E)=g_v\;g_{\text{valley}}(E).
  • Exemplo concreto: no silício há g_v=6 valleys equivalentes; portanto a DOS total perto do fundo da banda é seis vezes a DOS de uma única elipsoide.

Resposta

g(E)=\frac{1}{2\pi^2}\left(\frac{2m_{\mathrm{dos}}}{\hbar^2}\right)^{3/2}\sqrt{E-E_c},\qquad m_{\mathrm{dos}}=(m_{\|}m_{\perp}^2)^{1/3}
g_{\text{total}}(E)=g_v\,g(E)\quad\text{(multiplicar por }g_v\text{, o número de mínimos equivalentes; por exemplo }g_v=6\text{ no Si).}úí

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