Em um fundo de investimentos, que rende juros compostos mensais líquidos de
, Renata fez 12 aplicações mensais, iguais e consecutivas, tendo a última ocorrida na presente data, totalizando o montante de R$ 8.160,00. A partir do próximo mês, Renata fará resgates mensais, iguais e consecutivos de forma a zerar o saldo da aplicação em 5 meses. Renata fará 5 resgates mensais de?
Passo 1
O enunciado pede que encontremos o valor dos resgates mensais iguais (mesmos valores) que Renata fará a partir do próximo mês, em número de
resgates, de forma que o saldo atual seja zerado ao final desses
meses. Informações dadas e importantes:
- Taxa de juros compostos mensais líquidos:
. - Renata fez
aplicações mensais iguais e consecutivas, com a última ocorrida na presente data (isto é, a última aplicação ocorreu em ). - O montante acumulado na presente data (saldo disponível agora) é
. - A partir do próximo mês (primeiro resgate em
) ela fará resgates mensais iguais, e ao final do 5.º resgate o saldo deverá ser zero.
Pergunta do problema: qual é o valor de cada um dessesresgates?
Passo 2
Entendendo o que foi feito até agora (razão do montante atual): quando se faz uma sequência de
depósitos iguais
a cada mês, com a última aplicação ocorrendo agora (
), o montante na data presente é a soma geométrica
Aqui
é o valor de cada depósito,
a taxa mensal,
o número de depósitos e o expoente
conta quantos meses cada depósito rendeu até a data presente. No nosso caso
e o montante conhecido é
. Assim
Isto permite achar
(valor de cada aplicação), o que é útil para entender o fluxo, embora não seja estritamente necessário para encontrar os resgates. Vamos calcular passo a passo com
.
Calculamos primeiro
. Multiplicando sucessivamente ou usando expansão exponencial, obtemos
Então
Agora isolamos
:
Calculemos o numerador
. Assim
Interpretação: cada aplicação mensal anterior foi aproximadamente
. (Isso confirma que o balanço atual de
é compatível com 12 depósitos mensais de cerca de
à taxa dada.)
Passo 3
Agora vamos ao que o enunciado pede: o valor
dos
resgates mensais iguais, com o primeiro resgate em
e o último em
, de modo que o saldo atual
sirva exatamente para esses resgates. Em finanças, o valor presente (aqui, o saldo em
) de uma anuidade de
pagamentos iguais
com primeira parcela em
é
No nosso caso
,
,
. Portanto
Isolando
,
Precisamos calcular
e seu inverso. Usando multiplicações já feitas:
portanto
Assim
Agora substituímos:
Fazendo a divisão,
Passo 4
Interpretação final: Renata poderá retirar, a partir do próximo mês, cinco parcelas mensais iguais de aproximadamente
cada uma, de modo que ao final do quinto saque o saldo se zere. Boa notícia: o cálculo usou fórmulas padrão de séries geométricas (valor futuro de uma anuidade e valor presente de uma anuidade); na prova, reconheça o padrão “soma geométrica” e aplique as fórmulas que deduzimos acima.