Em um fundo de investimentos, que rende juros compostos mensais líquidos de 0,55 \%, Renata fez 12 aplicações mensais, iguais e consecutivas, tendo a última ocorrida na presente data, totalizando o montante de R$ 8.160,00. A partir do próximo mês, Renata fará resgates mensais, iguais e consecutivos de forma a zerar o saldo da aplicação em 5 meses. Renata fará 5 resgates mensais de?

Passo 1

O enunciado pede que encontremos o valor dos resgates mensais iguais (mesmos valores) que Renata fará a partir do próximo mês, em número de 5 resgates, de forma que o saldo atual seja zerado ao final desses 5 meses. Informações dadas e importantes:
  • Taxa de juros compostos mensais líquidos: i=0,55\%=0,0055.
  • Renata fez 12 aplicações mensais iguais e consecutivas, com a última ocorrida na presente data (isto é, a última aplicação ocorreu em t=0).
  • O montante acumulado na presente data (saldo disponível agora) é R\$\,8.160,00.
  • A partir do próximo mês (primeiro resgate em t=1) ela fará 5 resgates mensais iguais, e ao final do 5.º resgate o saldo deverá ser zero.
    Pergunta do problema: qual é o valor de cada um desses 5 resgates?

Passo 2

Entendendo o que foi feito até agora (razão do montante atual): quando se faz uma sequência de n depósitos iguais A a cada mês, com a última aplicação ocorrendo agora ( t=0), o montante na data presente é a soma geométrica
\sum_{j=0}^{n-1} A(1+i)^{j} = A\frac{(1+i)^{n}-1}{i}.
Aqui A é o valor de cada depósito, i a taxa mensal, n o número de depósitos e o expoente j conta quantos meses cada depósito rendeu até a data presente. No nosso caso n=12 e o montante conhecido é 8160. Assim
8160 = A\frac{(1+i)^{12}-1}{i}.
Isto permite achar A (valor de cada aplicação), o que é útil para entender o fluxo, embora não seja estritamente necessário para encontrar os resgates. Vamos calcular passo a passo com i=0,0055.
Calculamos primeiro (1+i)^{12}. Multiplicando sucessivamente ou usando expansão exponencial, obtemos
(1+i)^{12} \approx 1,068032531673508.
Então
(1+i)^{12}-1 \approx 0,068032531673508.
Agora isolamos A:
A = 8160\cdot\frac{i}{(1+i)^{12}-1} = 8160\cdot\frac{0,0055}{0,068032531673508}.
Calculemos o numerador 8160\cdot 0,0055 = 44,88. Assim
A \approx \frac{44,88}{0,068032531673508} \approx 659,69.
Interpretação: cada aplicação mensal anterior foi aproximadamente R\$\,659,69. (Isso confirma que o balanço atual de R\$\,8160,00 é compatível com 12 depósitos mensais de cerca de R\$\,659,69 à taxa dada.)

Passo 3

Agora vamos ao que o enunciado pede: o valor R dos 5 resgates mensais iguais, com o primeiro resgate em t=1 e o último em t=5, de modo que o saldo atual 8160 sirva exatamente para esses resgates. Em finanças, o valor presente (aqui, o saldo em t=0) de uma anuidade de n pagamentos iguais R com primeira parcela em t=1 é
PV = R\cdot\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}.
No nosso caso PV=8160, n=5, i=0,0055. Portanto
8160 = R\cdot\frac{1-(1+i)^{-5}}{i}.
Isolando R,
R = 8160\cdot\frac{i}{1-(1+i)^{-5}}.
Precisamos calcular (1+i)^{5} e seu inverso. Usando multiplicações já feitas:
(1+i)^{5}\approx 1,0278041693303453,
portanto
(1+i)^{-5}\approx \frac{1}{1,0278041693303453}\approx 0,972948016.
Assim
1-(1+i)^{-5}\approx 1-0,972948016 = 0,027051984.
Agora substituímos:
R = 8160\cdot\frac{0,0055}{0,027051984} = \frac{44,88}{0,027051984}.
Fazendo a divisão,
R \approx 1659,03.

Passo 4

Interpretação final: Renata poderá retirar, a partir do próximo mês, cinco parcelas mensais iguais de aproximadamente R\$\,1.659,03 cada uma, de modo que ao final do quinto saque o saldo se zere. Boa notícia: o cálculo usou fórmulas padrão de séries geométricas (valor futuro de uma anuidade e valor presente de uma anuidade); na prova, reconheça o padrão “soma geométrica” e aplique as fórmulas que deduzimos acima.

Resposta

R\$\,1.659,03

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