1. Um projeto de investimento oferece entradas de caixa de \ 840 ao ano por oito anos. Qual é o período de payback do projeto se o custo inicial foréí$3.200 ? E se o custo inicial for$ 4.800 ? E se ele for$7.300$ ?

Passo 1

O enunciado dá entradas de caixa constantes de \$\,840 por ano durante 8 anos. Pergunta-se o período de payback (tempo necessário para recuperar o investimento inicial) nos três casos de custo inicial: \$\,3.200, \$\,4.800 e \$\,7.300. Dados relevantes: entrada anual = \$\,840; horizonte de recebimentos =8 anos; custos iniciais a testar = \$\,3.200, \$\,4.800, \$\,7.300. A tarefa é calcular, para cada custo, em que ano (e fração de ano) o somatório das entradas atinge o custo inicial.

Passo 2

O que é o payback e como calcular quando os fluxos são iguais a cada ano (renda anual constante).
  • Definição: o payback é o tempo que leva para que a soma acumulada das entradas de caixa (receitas) iguale o investimento inicial.
  • Se as entradas são constantes e iguais a cada ano, a soma acumulada após n anos é n vezes a entrada anual. Ou seja, após n anos acumulamos
\text{Acumulado}(n)=n\cdot \text{Entrada\_anual}.
  • Para encontrar o payback exato (com fração de ano), se a entrada anual é \text{A} e o custo inicial é \text{C}, a fórmula direta é
\text{Payback}=\frac{\text{C}}{\text{A}},
desde que o resultado seja menor ou igual ao número de anos disponíveis; se for maior que o horizonte de recebimentos, então o investimento não é recuperado dentro do período dado.
  • Interpretação prática: se o quociente der, por exemplo, 3,8 anos, significa 3 anos completos mais 0,8 de ano; para converter a fração de ano em meses multiplicamos por 12: 0,8\times 12 meses.

Passo 3

Aplicando a ideia ao primeiro caso: custo inicial \$\,3.200.
  • Usamos a fórmula direta porque as entradas anuais são constantes:
\text{Payback}=\frac{\text{C}}{\text{A}}=\frac{\$\,3.200}{\$\,840}.
  • Calculemos a divisão:
\frac{3.200}{840}=3,8095238\ldots
(isto é, \,3,8095238 anos).
  • Interpretando: são 3 anos completos mais 0,8095238 de um ano. Convertemos a fração em meses:
0,8095238\times 12=9,7142856\ldots\\ \text{meses}.
  • Se quisermos detalhar em dias aproximados, tomamos a parte decimal dos meses:
0,7142856\\ \text{mês}\times 30\\ \text{dias}\approx 21,43\\ \text{dias}.ê
  • Conclusão do caso: payback \approx 3,81 anos, isto é, cerca de 3 anos, 9 meses e 21 dias (arredondando).

Passo 4

Aplicando ao segundo caso: custo inicial \$\,4.800.
  • Fórmula:
\text{Payback}=\frac{\$\,4.800}{\$\,840}.
  • Divisão:
\frac{4.800}{840}=5,7142857\ldots
(isto é, \,5,7142857 anos).
  • Interpretação: 5 anos completos mais 0,7142857 de ano. Convertendo para meses:
0,7142857\times 12=8,5714284\\ \text{meses}.
  • Convertendo a parte decimal dos meses em dias:
0,5714284\\ \text{mês}\times 30\\ \text{dias}\approx 17,14\\ \text{dias}.ê
  • Conclusão do caso: payback \approx 5,71 anos, isto é, cerca de 5 anos, 8 meses e 17 dias (arredondando).

Passo 5

Aplicando ao terceiro caso: custo inicial \$\,7.300.
  • Primeiro calculemos o máximo acumulado em 8 anos:
\text{Acumulado em 8 anos}=8\cdot \$\,840=\$\,6.720.
  • Como \$\,6.720<\$\,7.300, o valor recebido ao final dos 8 anos ainda é insuficiente para recuperar o custo inicial.
  • Pelo cálculo direto do quociente:
\frac{\$\,7.300}{\$\,840}=8,6904761\ldots
que representa aproximadamente 8,69 anos, maior que o horizonte de 8 anos. Logo, o payback não ocorre dentro dos 8 anos disponíveis.
  • Conclusão do caso: o projeto não recupera o investimento dentro dos 8 anos (payback > 8 anos).

Resposta

\$\,3.200: payback \approx 3,8095238 anos \approx 3 anos, 9 meses e 21 dias.\n
\$\,4.800: payback \approx 5,7142857 anos \approx 5 anos, 8 meses e 17 dias.\n
\$\,7.300: payback > 8 anos (não é recuperado dentro dos 8 anos).

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