a) (x+y) y^prime+x arctg(yx)=0
b) (x-y) y^prime=y^2
c) y^prime-2 x y=x^3
d) y^prime=2 x y+y^3
e) x y^prime+y=sen y
f) (y-2 x y^prime)^2=y^3
g) y=x e^y^prime
h) (y^prime-2 x y) raizy=x^3
i) y^prime=(x+y)^2
j) x cos y^prime+y sen y^prime=x^3
l) (x^2-x y) y^prime=y^4
m) (x^2+2 x y^3) d x+(y^2+3 x^2 y^2) d y=0,

Passo 1

O enunciado apresenta uma lista de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem, identificadas pelas letras de (a) até (m), e pede para classificá-las nos tipos elementares: separáveis, lineares de primeira ordem, de Bernoulli, homogêneas, exatas ou, caso não se enquadrem em nenhum desses, não elementares.

Passo 2

Para classificar cada equação, usamos os seguintes critérios:
  1. Uma equação é separável se puder ser escrita na forma dydx=g(x),h(y), permitindo escrever 1h(y),dy = g(x),dx.
  2. É linear de primeira ordem se tiver a forma dydx+P(x),y=Q(x).
  3. É de Bernoulli se puder ser posta em dydx+P(x),y=Q(x),y^n com nneq0,1.
  4. É homogênea se se escrever dydx=Fl(tfracyxr).
  5. Uma forma M(x,y),dx+N(x,y),dy=0 é exata se partial M/partial y=partial N/partial x.
  6. Se não se encaixar em nenhum desses, chamamos de não elementar.

Passo 3

Aplicando esses critérios às equações dadas, agrupamos-as assim:
Equações separáveis
(x-y),y'=y^2 (b),
,x,y'+y=sin y (e),
,(y-2x,y')^2=y^3 (f).
Equações lineares de primeira ordem
,y'-2x,y=x^3 (c).
Equações de Bernoulli
,y'=2x,y+y^3 (d) com n=3,
,(y'-2x,y)raizy=x^3 (h) com n=-tfrac12.
Equação homogênea
,y'=(x+y)^2 (i).
Equação exata
,(x^2+2x,y^3),dx+(y^2+3x^2y^2),dy=0 (m).
Equações não elementares
,(x+y),y'+xarctan!tfracyx=0 (a),
,y=x,e^y' (g),
,xcos y'+ysin y'=x^3 (j),
,(x^2-xy),y'=y^4 (l).

Resposta

a) Não elementar
b) Separável
c) Linear de primeira ordem
d) Bernoulli (com n=3)
e) Separável
f) Separável
g) Não elementar
h) Bernoulli (com n=-tfrac12)
i) Homogênea de primeira ordem
j) Não elementar
l) Não elementar
m) Exata

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