(Fuvest/2015-Adaptado) Dadas as sequências an=n^2+4 n+4, bn=2^n^2, cn=an+1-an e dn=bn+1bn definidas para valores inteiros positivos de n. a) Mostre que cn é uma PA e b) Mostre que dn é uma PG. Obtenha os respectivos termos gerais.

Passo 1

O enunciado define
an=n^2+4n+4 e bn=2^n^2,
cn=an+1-an,
dn=bn+1bn.
Pede-se mostrar que cn é PA e dn é PG, e obter os termos gerais.

Passo 2

Calcular an+1 e então cn:
an+1=(n+1)^2+4(n+1)+4 =n^2+2n+1+4n+4+4 =n^2+6n+9,
cn=an+1-an =(n^2+6n+9)-(n^2+4n+4) =2n+5

Passo 3

Verificar a diferença entre termos consecutivos de cn:
cn+1-cn =[2(n+1)+5] - [2n+5] =2
Como essa diferença é constante ( r=2), cn é PA.
O primeiro termo é c1=2cdot1+5=7, logo o termo geral é
cn=c1+(n-1)r =7+2(n-1) =2n+5

Passo 4

Calcular dn:
dn =bn+1bn =2^(n+1)^22^n^2 =2^(n+1)^2-n^2 =2^2n+1

Passo 5

Verificar a razão de dn:
dn+1dn =2^2(n+1)+12^2n+1 =2^2 =4
Como a razão é constante ( q=4), dn é PG.
O primeiro termo é d1=2^2cdot1+1=2^3=8, então o termo geral é
dn =d1,q^,n-1 =8cdot4^,n-1

Resposta

cn=2n+5, PA de razão 2.
dn=8cdot4^,n-1, PG de razão 4.

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