S-3.29 Mostre que se a e b são dois números naturais tais que mdc(a, b)=mmc(a, b), então a=b.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se a e b são naturais tais que mdc(a,b)=mmc(a,b), então a=b. Vamos usar a propriedade básica de que o máximo divisor comum não ultrapassa cada número e o mínimo múltiplo não fica abaixo de nenhum deles.

Passo 2

Para quaisquer a,binN vale
mdc(a,b)<= a<= mmc(a,b), mdc(a,b)<= b<= mmc(a,b)
Isso decorre de que mdc(a,b) é o maior divisor comum (logo divide a,b) e mmc(a,b) é o menor múltiplo comum (logo é múltiplo de a,b).

Passo 3

Seja d=mdc(a,b)=mmc(a,b). Pelas desigualdades do passo anterior temos
d<= a<= d Longrightarrow a=d,
e de modo análogo b=d. Portanto a=b.

Resposta

a=b

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