S-3.29 Mostre que se
e
são dois números naturais tais que
, então
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
e
são naturais tais que
, então
. Vamos usar a propriedade básica de que o máximo divisor comum não ultrapassa cada número e o mínimo múltiplo não fica abaixo de nenhum deles.
Passo 2
Para quaisquer
vale
Isso decorre de que
é o maior divisor comum (logo divide
) e
é o menor múltiplo comum (logo é múltiplo de
).
Passo 3
Seja
. Pelas desigualdades do passo anterior temos
e de modo análogo
. Portanto
.