(Fuvest/2017-Adaptado) Considere as funções: f(x)=x^2+4 e g(x)=1+log 1 / 2 x. O domínio de f é o conjunto dos números reais e o domínio de g é o conjunto dos números reais maiores que zero. Seja a função h(x)=3 f(g(x))+2 g(f(x)) em que x>0. Calcule h(2).

Passo 1

O enunciado define
f(x)=x^2+4 para todo xinR e
g(x)=1+log1/2x para x>0,
e pede que a gente calcule
h(2)=3,fl(g(2)r)+2,gl(f(2)r)
O conteúdo envolve composição de funções e uso da definição de logaritmo em base 1/2.

Passo 2

Vamos achar primeiro g(2). Por definição
g(2)=1+log1/22,
e log1/22=x satisfaz (1/2)^x=2. Como (1/2)^-1=2, concluímos
log1/22=-1,
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g(2)=1+(-1)=0

Passo 3

Agora calculamos
fl(g(2)r)=f(0)
Como f(x)=x^2+4, temos
f(0)=0^2+4=4

Passo 4

Precisamos também de gl(f(2)r). Primeiro
f(2)=2^2+4=4+4=8
Então
gl(f(2)r)=g(8)=1+log1/28
Para log1/28=y vale (1/2)^y=8. Como 8=2^3 e (1/2)^-3=2^3, segue
log1/28=-3,
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g(8)=1+(-3)=-2

Passo 5

Juntando tudo em
h(2)=3,fl(g(2)r)+2,gl(f(2)r),
temos
h(2)=3cdot4 + 2cdot(-2)=12 -4=8

Resposta

8

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