(Fuvest/2016-Adaptado) Utilize as propriedades dos logaritmos para simplificar

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a soma
S=12cdotlog22016+15cdotlog32016+110cdotlog72016,
usando propriedades de logaritmos (em particular mudança de base e soma de logaritmos).

Passo 2

Aplicamos a mudança de base 1logba=logab. Assim,
12cdotlog22016 =12,log20162, 15cdotlog32016 =15,log20163, 110cdotlog72016 =110,log20167

Passo 3

Somando esses termos e usando que soma de logaritmos é logaritmo do produto, obtemos
S =log2016l(2^1/2r) +log2016l(3^1/5r) +log2016l(7^1/10r) =log2016l(2^1/2,3^1/5,7^1/10r)

Passo 4

Note que 2016=2^5cdot3^2cdot7. Logo,
2^1/2,3^1/5,7^1/10 =(2^5)^1/10,(3^2)^1/10,(7)^1/10 =(2^5cdot3^2cdot7)^1/10 =2016^1/10

Passo 5

Substituindo no logaritmo,
S=log2016l(2016^1/10r) =110

Resposta

110

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