(Fuvest/2017) Um analgésico é aplicado via intravenosa. Sua concentração no sangue, até atingir a concentração nula, varia com o tempo de acordo com a seguinte relação:
c(t)=400-k log 3(a t+1)
em que t é dado em horas e c(t) é dado em m g / L. As constantes a e k são positivas. a) Qual a concentração do analgésico no instante inicial t=0 ? b) Calcule as constantes a e k, sabendo que, no instante t=2, a concentração do analgésico no sangue é metade da concentração no instante inicial e que, no instante t=8, a concentração do analgésico no sangue é nula.

Passo 1

O enunciado dá a concentração do analgésico no sangue em função do tempo pela fórmula
c(t)=400 - k log3(a t + 1),
onde t (em horas) e c(t) (em mg/L) e pede:
– (a) c(0).
– (b) Encontrar as constantes positivas a e k sabendo que c(2)=tfrac12,c(0) e c(8)=0.

Passo 2

Para achar a concentração inicial, basta calcular c(0). Como log3(1)=0,
c(0)=400 - klog3(1)=400 - kcdot 0=400
Logo, c(0)=400 mg/L.

Passo 3

Usando as condições do enunciado:
– Em t=2, c(2)=tfrac12cdot 400=200, ou seja
400 - k log3(2a+1)=200
– Em t=8, c(8)=0, ou seja
400 - k log3(8a+1)=0

Passo 4

Das duas equações temos
k log3(2a+1)=200 e k log3(8a+1)=400
Dividindo a segunda pela primeira:
log3(8a+1)log3(2a+1)=400200=2 ;Longrightarrow; log3(8a+1)=2,log3(2a+1) ;Longrightarrow; 8a+1=(2a+1)^2
Resolvendo 8a+1=4a^2+4a+1
4a^2 -4a=0 ;Longrightarrow; a(a-1)=0 ;Longrightarrow; a=1(descartamos a=0)

Passo 5

Com a=1, voltamos em klog3(2a+1)=200:
klog3(2cdot1+1)=200 ;Longrightarrow; klog3(3)=200 ;Longrightarrow; kcdot1=200 ;Longrightarrow; k=200

Resposta

a) A concentração inicial é c(0)=400 mg/L.
b) As constantes são a=1 e k=200.

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