Usando o método da bisseç̧ão, determine uma raiz da equação:
f(x)=x^3-sen(x)=0 com a precisão epsilon1=epsilon2=0,0001. Localize um intervalo I de amplitude 1, que contenha o zero.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício pede. Temos a equação f(x) = x^3 - sin(x) = 0 e queremos encontrar uma raiz dessa equação usando o método da bisseção, com precisão epsilon1 = epsilon2 = 0,0001. Para isso, precisamos localizar um intervalo I de amplitude 1 que contenha essa raiz.

Passo 2

O método da bisseção funciona dividindo um intervalo ao meio repetidamente para aproximar a raiz da função. Para isso, precisamos encontrar um intervalo onde a função muda de sinal, ou seja, f(a) e f(b) tenham sinais opostos. Esse é um requisito baseado no Teorema de Bolzano, que garante que existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.

Passo 3

Vamos procurar um intervalo I de amplitude 1 onde a função f(x) = x^3 - sin(x) muda de sinal. Testando alguns valores:
  • Para x = 0 :
f(0) = 0^3 - sin(0) = 0 - 0 = 0
  • Para x = 1 :
f(1) = 1^3 - sin(1) approx 1 - 0,8415 = 0,1585
  • Para x = -1 :
f(-1) = (-1)^3 - sin(-1) = -1 + sin(1) approx -1 + 0,8415 = -0,1585

Passo 4

Agora, vamos verificar os intervalos possíveis de amplitude 1:
  • Intervalo [-1, 0]:
f(-1) approx -0,1585 e f(0) = 0
Aqui, a função passa de negativo para zero, indicando uma possível raiz.
  • Intervalo [0, 1]:
f(0) = 0 e f(1) approx 0,1585
A função passa de zero para positivo, indicando que x = 0 é uma raiz exata.

Passo 5

Observando os intervalos, vemos que:
  • No intervalo [-1, 0], a função muda de negativo para zero.
  • No intervalo [0, 1], a função tem uma raiz exata em x = 0 .
Como x = 0 satisfaz a equação exatamente e está dentro do intervalo [0, 1] que tem amplitude 1, já temos a raiz que procuramos.

Resposta

Uma raiz da equação f(x) = x^3 - sin(x) = 0 está no intervalo [0, 1] com precisão 0,0001 .

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