(Fuvest-SP) Carlos e sua irmã Andréia foram com seu cachorro Bidu à farmácia de seu avô. Lá, encontraram uma velha balança com defeito que só indicava corretamente pesos superiores a 60 kg . Assim eles pesaram dois a dois e obtiveram as seguintes marcas:
Carlos e o cão pesam juntos, 87 kg ;
Carlos e Andréia pesam 123 kg ;
Andréia e Bidu pesam 66 kg .
a) Cada um deles pesa menos que 60 kg .
b) Dois deles pesam mais de 60 kg .
c) Andréia é a mais pesada de todas.
d) O peso de Andréia é a média aritmética dos pesos de Carlos e Bidu.
e) Carlos é mais pesado que Andréia e Bidu juntos.
Passo 1
Vamos listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (os números abaixo eu peguei do enunciado).
O defeito da balança: ela indica corretamente apenas pesos superiores a 60 kg.
Medidas obtidas (cada uma é a soma de dois pesos):
Carlos e o cão juntos: 87 kg.
Carlos e Andréia juntos: 123 kg.
Andréia e Bidu juntos: 66 kg.
O enunciado pede verificar a veracidade das afirmações (a) a (e).
Observação importante (para não errar na prova): como todas as três leituras são maiores que 60 kg, pela condição do enunciado essas três leituras foram indicadas corretamente pela balança; portanto podemos confiar nos três números dados.
Passo 2
Definimos variáveis para os pesos individuais (sempre explique o que cada variável significa):
Seja [C) o peso de Carlos (em kg).
Seja A o peso de Andréia (em kg).
Seja B o peso do Bidu (em kg).
A partir das três medidas temos o sistema de equações:
\begin{cases} C + B = 87,\\[4pt] C + A = 123,\\[4pt] A + B = 66. \end{cases}
Vou explicar o método que vou usar: somar as três equações para obter uma expressão para (C+A+B] (isso elimina os pares) e depois recuperar cada variável subtraindo adequadamente. Esse é um método simples e rápido em provas para sistemas lineares de soma de pares.]
Passo 3
Somando as três equações membro a membro:
(C+B) + (C+A) + (A+B) = 87 + 123 + 66.
No lado esquerdo cada variável aparece duas vezes, então:
2(C + A + B) = 276.
Dividindo por 2:
C + A + B = 138.
Isso significa: a soma dos três pesos é 138 kg.
Passo 4
Agora obtemos cada peso individual subtraindo a soma de dois dos outros do total C+A+B.
Para C: subtraio A+B de C+A+B. Como A+B = 66 (peguei do enunciado),
C = (C + A + B) - (A + B) = 138 - 66 = 72.
Para A: subtraio C+B. Como C+B = 87,
A = 138 - 87 = 51.
Para B: subtraio C+A. Como C+A = 123,
B = 138 - 123 = 15.
Portanto os pesos individuais são \,C=72, \,A=51 e \,B=15 (em kg).
Passo 5
Verificação rápida (bom hábito em prova): conferindo que as equações iniciais são satisfeitas: