(Fuvest-SP) Para uma dada reação química, expressa como A → B, sabe-se que a concentração de A se reduz à metade em cada intervalo de 30 minutos.
a) Se a concentração inicial de A for de 1,00 \mathrm{~mol} / \mathrm{L}, após quanto tempo ela atingirá o valor de 0,125 \mathrm{mol} / \mathrm{L} ?
b) A velocidade dessa reação é constante, aumenta ou diminui com o tempo? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
Informações dadas:
  • A reação é A \to B.
  • A concentração de A é reduzida à metade a cada intervalo de 30 minutos.
  • A concentração inicial de A é [A]_0 = 1,00\\ \mathrm{mol/L}.
Perguntas:
a) Após quanto tempo [A](t) atinge 0,125\\ \mathrm{mol/L}?
b) A velocidade (taxa) da reação é constante, aumenta ou diminui com o tempo? Justifique.

Passo 2

Entendendo o modelo de decaimento por “metade a cada intervalo”: quando algo se reduz à metade em intervalos fixos chamamos esse comportamento de decaimento por semiciclos (meia-vida constante). Se a cada 30 minutos a concentração fica pela metade, podemos escrever diretamente um modelo discreto contínuo em t (em minutos):
[A](t) = [A]_0\left(\tfrac{1}{2}\right)^{\frac{t}{30}}.
Explicando cada símbolo:
  • [A](t) é a concentração de A no tempo t (em \mathrm{min}).
  • [A]_0 é a concentração inicial, aqui [A]_0=1{,}00\\ \mathrm{mol/L}.
  • \tfrac{1}{2} é o fator de redução a cada meia-vida de 30 minutos.
  • \frac{t}{30} conta quantas meias-vidas (intervalos de 30 min) cabem em t.
Essa fórmula é fácil de usar na prova: para cada 30 min multiplica-se por \tfrac{1}{2}.

Passo 3

Resolver a parte (a) usando a fórmula de meias-vidas. Substituo [A](t)=0{,}125 e [A]_0=1:
0{,}125 = 1\cdot\left(\tfrac{1}{2}\right)^{\frac{t}{30}}.
Simplifico:
\left(\tfrac{1}{2}\right)^{\frac{t}{30}} = 0{,}125.
Reconheço que 0{,}125 = \tfrac{1}{8} e que \tfrac{1}{8} = \left(\tfrac{1}{2}\right)^3. Logo
\left(\tfrac{1}{2}\right)^{\frac{t}{30}} = \left(\tfrac{1}{2}\right)^3.
Como as bases são iguais e não nulas, os expoentes são iguais:
\frac{t}{30} = 3.
Multiplico ambos os lados por 30:
t = 3\cdot 30 = 90\\ \text{minutos}.

Passo 4

(Aqui uma pequena aula alternativa, para fixar o conceito: modelo contínuo de primeira ordem.)
Outra forma — útil em provas — é usar o modelo exponencial contínuo típico de cinética de 1ª ordem:
[A](t) = [A]_0 e^{-kt},
onde k é a constante de velocidade (em \mathrm{min^{-1}}). A relação entre meia-vida t_{1/2} e k é
t_{1/2} = \frac{\ln 2}{k}\quad\Rightarrow\quad k=\frac{\ln 2}{t_{1/2}}.
Aqui t_{1/2}=30 min, então k=\dfrac{\ln 2}{30}. Para achar t tal que [A](t)=0{,}125 fazemos:
0{,}125 = 1\cdot e^{-kt}\quad\Rightarrow\quad e^{-kt}=0{,}125.
Aplicando logaritmo natural:
-kt = \ln(0{,}125) = \ln\!\left(\tfrac{1}{8}\right)= -\ln 8 = -3\ln 2.
Logo
t = \frac{3\ln 2}{k} = \frac{3\ln 2}{\ln 2/30} = 3\cdot 30 = 90\\ \text{min},
igual ao resultado anterior. Isso mostra consistência entre as formas discreta (potências de \tfrac12) e contínua (exponencial).

Passo 5

Responder a parte (b): comportamento da velocidade com o tempo e justificativa didática.
No modelo de primeira ordem a velocidade instantânea (taxa de perda de A) é
v(t) = -\frac{d[A]}{dt} = k[A](t).
Explicação das variáveis:
  • v(t) é a velocidade (taxa) de consumo de A no instante t.
  • k é constante positiva (a constante de velocidade).
  • [A](t) é a concentração no instante t.
Como k é constante e [A](t) decresce com o tempo, o produto k[A](t) também diminui com o tempo. Em linguagem simples: a taxa é proporcional à concentração de A; se a concentração fica menor, a velocidade também fica menor.
Exemplo numérico ilustrativo (sem precisar calculadora avançada): se no início [A]=1{,}00 e depois de 30 min [A]=0{,}50, então a taxa em 30 min é metade da taxa inicial. Em cada intervalo de 30 min a taxa cai pela metade, exatamente como a concentração. Portanto a velocidade diminui com o tempo.

Resposta

a) 90 minutos (ou 1 h 30 min).
b) Diminui com o tempo.

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