(Fuvest-SP) Para uma dada reação química, expressa como A → B, sabe-se que a concentração de A se reduz à metade em cada intervalo de 30 minutos.
a) Se a concentração inicial de A for de
, após quanto tempo ela atingirá o valor de 0,125
?
b) A velocidade dessa reação é constante, aumenta ou diminui com o tempo? Justifique.
a) Se a concentração inicial de A for de
b) A velocidade dessa reação é constante, aumenta ou diminui com o tempo? Justifique.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
Informações dadas:
- A reação é
. - A concentração de
é reduzida à metade a cada intervalo de minutos. - A concentração inicial de
é .
Perguntas:
a) Após quanto tempo atinge
?
b) A velocidade (taxa) da reação é constante, aumenta ou diminui com o tempo? Justifique.
a) Após quanto tempo
b) A velocidade (taxa) da reação é constante, aumenta ou diminui com o tempo? Justifique.
Passo 2
Entendendo o modelo de decaimento por “metade a cada intervalo”: quando algo se reduz à metade em intervalos fixos chamamos esse comportamento de decaimento por semiciclos (meia-vida constante). Se a cada
minutos a concentração fica pela metade, podemos escrever diretamente um modelo discreto contínuo em
(em minutos):
Explicando cada símbolo:
-
é a concentração de no tempo (em ). -
é a concentração inicial, aqui . -
é o fator de redução a cada meia-vida de minutos. -
conta quantas meias-vidas (intervalos de min) cabem em .
Essa fórmula é fácil de usar na prova: para cada
min multiplica-se por
.
Passo 3
Resolver a parte (a) usando a fórmula de meias-vidas. Substituo
e
:
Simplifico:
Reconheço que
e que
. Logo
Como as bases são iguais e não nulas, os expoentes são iguais:
Multiplico ambos os lados por
:
Passo 4
(Aqui uma pequena aula alternativa, para fixar o conceito: modelo contínuo de primeira ordem.)
Outra forma — útil em provas — é usar o modelo exponencial contínuo típico de cinética de 1ª ordem:
Outra forma — útil em provas — é usar o modelo exponencial contínuo típico de cinética de 1ª ordem:
onde
é a constante de velocidade (em
). A relação entre meia-vida
e
é
Aqui
min, então
. Para achar
tal que
fazemos:
Aplicando logaritmo natural:
Logo
igual ao resultado anterior. Isso mostra consistência entre as formas discreta (potências de
) e contínua (exponencial).
Passo 5
Responder a parte (b): comportamento da velocidade com o tempo e justificativa didática.
No modelo de primeira ordem a velocidade instantânea (taxa de perda de
) é
Explicação das variáveis:
-
é a velocidade (taxa) de consumo de no instante . -
é constante positiva (a constante de velocidade). -
é a concentração no instante .
Como
é constante e
decresce com o tempo, o produto
também diminui com o tempo. Em linguagem simples: a taxa é proporcional à concentração de
; se a concentração fica menor, a velocidade também fica menor.
Exemplo numérico ilustrativo (sem precisar calculadora avançada): se no início
e depois de
min
, então a taxa em
min é metade da taxa inicial. Em cada intervalo de
min a taxa cai pela metade, exatamente como a concentração. Portanto a velocidade diminui com o tempo.
Resposta
a)
minutos (ou
h
min).
b) Diminui com o tempo.
b) Diminui com o tempo.