(FUVEST) Sejam a e b números naturais e p um número primo.
(a) se p divide a^{2}+b^{2} e p divide a, então p divide b.
(b) se \boldsymbol{p} divide \boldsymbol{a b}, então \boldsymbol{p} divide \boldsymbol{a} e \boldsymbol{p} divide b.
(c) se p divide a+b, então p divide a e p divide b.
(d) se a divide p, então a é primo.
(e) se \mathbf{a} divide \mathbf{b} e \boldsymbol{p} divide \mathbf{b}, então \boldsymbol{p} divide a.

Passo 1

O enunciado dá que a e b são números naturais e p é um número primo. Preciso avaliar a veracidade das cinco afirmações abaixo (cada uma é uma proposição a ser julgada verdadeira ou falsa):
(a) se p divide a^{2}+b^{2} e p divide a, então p divide b.
(b) se p divide ab, então p divide a e p divide b.
(c) se p divide a+b, então p divide a e p divide b.
(d) se a divide p, então a é primo.
(e) se a divide b e p divide b, então p divide a.

Passo 2

Primeiro, algumas definições e ferramentas que vou usar (explicadas com calma).
  • Definição de divisibilidade: dizer que um inteiro x divide um inteiro y (escrevemos " x divide y" ou x\mid y) significa que existe inteiro k tal que y = kx. Ex.: 3\mid 12 porque 12=4\cdot 3.
  • Conceito de congruência módulo p: escrever u\equiv v\pmod p significa que p divide u-v. Em particular, p\mid u é equivalente a u\equiv0\pmod p.
  • Lema fundamental usado aqui (Lema de Euclides, explicado): se p é primo e p\mid ab então p\mid a ou p\mid b. Vou provar rapidinho esse lema porque é muito útil e aparece em várias partes:
    Suponha p\mid ab. Se p\mid a acabou. Caso contrário, suponha que p não divide a. Como p é primo e não divide a, temos \gcd(a,p)=1. Pelo Teorema de Bézout, existem inteiros u,v tais que ua+vp=1. Multiplicando por b:
    uab + vpb = b.
    Aqui p\mid uab (porque p\mid ab por hipótese) e p\mid vpb (óbvio), então p divide o lado direito b. Logo p\mid b. Isso prova o lema: se p não divide a, então divide b; assim sempre p\mid a ou p\mid b.
Vou usar esses conceitos ao analisar cada item.

Passo 3

Proposição (a): “se p divide a^{2}+b^{2} e p divide a, então p divide b.”
Prova passo a passo:
  • Hipóteses: p\mid(a^{2}+b^{2}) e p\mid a.
  • Como p\mid a, temos a\equiv 0\pmod p. Então ao reduzir a congruência a^{2}+b^{2}\equiv 0\pmod p usando a\equiv0\pmod p obtemos 0^{2}+b^{2}\equiv 0\pmod p \quad\Rightarrow\quad b^{2}\equiv 0\pmod p.Ou seja, p\mid b^{2}.
  • Agora uso o Lema de Euclides aplicado a b\cdot b: se p é primo e p\mid b^{2}=b\cdot b, pelo lema p\mid b (porque se um primo divide um produto, divide algum dos fatores; aqui os fatores são iguais, então divide b).
  • Conclusão: p\mid b. Portanto a proposição (a) é verdadeira.
Comentário intuitivo: como a é múltiplo de p, o termo a^2 some módulo p e sobra b^2\equiv0, então b também tem que ser múltiplo de p.

Passo 4

Proposição (b): “se p divide ab, então p divide a e p divide b.”
  • Pelo Lema de Euclides sabemos apenas que, para primo p, se p\mid ab então p\mid a ou p\mid b. O lema não garante que p divida ambos os fatores simultaneamente.
  • Para mostrar que a proposição é falsa basta dar um contraexemplo simples. Tome p=2,\quad a=2,\quad b=3.Aqui ab=6 e 2\mid 6, ou seja p\mid ab. Entretanto 2\mid a (ok) mas 2\nmid b (pois b=3). Assim não ocorre que 2 divide os dois fatores simultaneamente. Logo a afirmação que exige “e” (ambos) é falsa.
Conclusão: (b) é falsa.

Passo 5

Proposição (c): “se p divide a+b, então p divide a e p divide b.”
  • Essa afirmação também é forte demais. Se p\mid (a+b) significa apenas que a+b\equiv0\pmod p, ou seja a\equiv -b\pmod p. Não há motivo para que a e b sejam ambos congruentes a 0 modulo p.
  • Contraexemplo rápido: escolha p=2,\quad a=1,\quad b=1.Então a+b=2 e 2\mid (a+b), mas 2\nmid a e 2\nmid b. Portanto a proposição é falsa.
Conclusão: (c) é falsa.

Passo 6

Proposição (d): “se a divide p, então a é primo.”
  • Como p é primo, os divisores positivos de p são apenas 1 e p (isto é uma propriedade básica de primos). Se a divide p, então necessariamente a=1 ou a=p.
  • Mas a=1 não é número primo (por definição o 1 não é primo). Logo é possível ter a que divide p e não ser primo (basta a=1).
  • Se a hipótese tivesse acrescentado a>1 então a conclusão a primo seria verdadeira (porque então obrigatoriamente a=p). Mas tal hipótese não aparece no enunciado.
  • Contraexemplo mostrando a falsidade direta: tome p=7 e a=1. Então 1\mid 7 porém 1 não é primo.
Conclusão: (d) é falsa (com a formulação dada).

Passo 7

Proposição (e): “se a divide b e p divide b, então p divide a.”
  • Escrevendo a\mid b significa que existe inteiro k tal que b=ak.
  • Se p\mid b então p\mid ak. Aplicando o Lema de Euclides (porque p é primo) a ak obtemos: p\mid a ou p\mid k.
  • A proposição exige que sempre p\mid a. Mas do lema só decorre que p\mid a ou p\mid k; no caso em que p\mid k a implicação p\mid a falha.
  • Contrário ao que a proposição afirma, há exemplos em que a\mid b e p\mid b mas p\nmid a. Contraexemplo: a=4,\quad b=12,\quad p=3.Verificações: 4\mid 12 (pois 12=4\cdot 3) e 3\mid 12, mas 3\nmid 4. Portanto a afirmação é falsa.
Conclusão: (e) é falsa.

Resposta

(a) Verdadeira
(b) Falsa
(c) Falsa
(d) Falsa
(e) Falsa

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