(FUVEST-SP) Uma pequena bolha de ar, partindo da profundidade de
abaixo da superfície de um lago, tem seu volume aumentado em
ao chegar à superficie. Suponha que a temperatura do lago seja constante e uniforme e que o valor da massa específica da água do lago seja
. Adote
e despreze os efeitos de tensão superficial.
a) Qual a variação do valor da pressão do ar dentro da bolha, em
, nessa subida?
b). Qual o valor da pressão atmosférica, em
, na superfície do lago?
a) Qual a variação do valor da pressão do ar dentro da bolha, em
b). Qual o valor da pressão atmosférica, em
Passo 1
O enunciado e os dados relevantes (resumindo, sem resolver ainda):
- A bolha parte de uma profundidade de
abaixo da superfície do lago. - Ao chegar à superfície, o volume da bolha aumenta em
. Ou seja, se é o volume inicial e o final, então . - A temperatura do lago (e portanto da bolha) é constante durante a subida.
- A massa específica da água é
. - Aceleração da gravidade
. - Desprezar tensão superficial.
O que o enunciado pede:
(a) A variação do valor da pressão do ar dentro da bolha nessa subida, em(ou ).
(b) O valor da pressão atmosférica, em, na superfície do lago.
Passo 2
Conceito de pressão hidrostática (a parte da teoria necessária):
- Em um líquido em equilíbrio, a pressão aumenta com a profundidade segundo a fórmula
onde:
-
é a pressão a uma profundidade abaixo da superfície, -
é a pressão na superfície (aqui é a pressão atmosférica ), -
é a massa específica do líquido, -
é a aceleração da gravidade, -
é a profundidade (positiva para baixo). - Assim, a pressão dentro da bolha quando ela está a
de profundidade é
e ao chegar à superfície a pressão dentro da bolha é
Passo 3
Conceito de processo isotérmico para gás ideal (outra parte da teoria necessária):
- Se a temperatura do gás é constante (processo isotérmico) e o gás se comporta idealmente, vale a lei dos gases para dois estados:
onde:
-
e são pressão e volume iniciais, -
e são pressão e volume finais. - Essa relação diz que, mantendo a temperatura, pressão e volume variam inversamente.
Passo 4
Aplicar a relação isotérmica ao dado do aumento de volume:
- O enunciado deu
. Substituindo em obtemos
- Como
é a pressão na superfície, temos . Então
Passo 5
Relacionar a expressão do Passo 4 com a pressão hidrostática do Passo 2 e resolver para
:
- Do Passo 2:
. - Do Passo 4:
. - Igualando:
- Subtraindo
dos dois lados:
- Isolando
:
Passo 6
Substituir os números para encontrar
e as pressões inicial e final:
- Calcular
:
- Então
- Pressão inicial na profundidade
:
- Pressão final na superfície:
Passo 7
Calcular a variação da pressão do ar dentro da bolha durante a subida:
- Definindo a variação como
, obtemos
- Interpretação: a pressão dentro da bolha diminui; o módulo da diminuição é
.
Resposta
(a)
(ou seja, diminui em
).
(b) .
(b)