(FUVEST-SP) Uma pequena bolha de ar, partindo da profundidade de 2,0 \mathrm{~m} abaixo da superfície de um lago, tem seu volume aumentado em 40 \% ao chegar à superficie. Suponha que a temperatura do lago seja constante e uniforme e que o valor da massa específica da água do lago seja \rho=1,0 \times 10^{3} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}. Adote \mathrm{g}=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} e despreze os efeitos de tensão superficial.
a) Qual a variação do valor da pressão do ar dentro da bolha, em \mathrm{N} / \mathrm{m}^{2}, nessa subida?
b). Qual o valor da pressão atmosférica, em \mathrm{N} / \mathrm{m}^{2}, na superfície do lago?

Passo 1

O enunciado e os dados relevantes (resumindo, sem resolver ainda):
  • A bolha parte de uma profundidade de 2,0\\ \mathrm{m} abaixo da superfície do lago.
  • Ao chegar à superfície, o volume da bolha aumenta em 40\%. Ou seja, se V_i é o volume inicial e V_f o final, então V_f=1,4\,V_i.
  • A temperatura do lago (e portanto da bolha) é constante durante a subida.
  • A massa específica da água é \rho=1,0\times10^{3}\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • Aceleração da gravidade g=10\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Desprezar tensão superficial.
    O que o enunciado pede:
    (a) A variação do valor da pressão do ar dentro da bolha nessa subida, em \mathrm{N/m^{2}} (ou \mathrm{Pa}).
    (b) O valor da pressão atmosférica, em \mathrm{N/m^{2}}, na superfície do lago.

Passo 2

Conceito de pressão hidrostática (a parte da teoria necessária):
  • Em um líquido em equilíbrio, a pressão aumenta com a profundidade segundo a fórmula
p=p_{\text{superf}}+\rho g h,
onde:
  • p é a pressão a uma profundidade h abaixo da superfície,
  • p_{\text{superf}} é a pressão na superfície (aqui é a pressão atmosférica p_{\text{atm}}),
  • \rho é a massa específica do líquido,
  • g é a aceleração da gravidade,
  • h é a profundidade (positiva para baixo).
  • Assim, a pressão dentro da bolha quando ela está a 2,0\\ \mathrm{m} de profundidade é
p_i=p_{\text{atm}}+\rho g h,
e ao chegar à superfície a pressão dentro da bolha é
p_f=p_{\text{atm}}.

Passo 3

Conceito de processo isotérmico para gás ideal (outra parte da teoria necessária):
  • Se a temperatura do gás é constante (processo isotérmico) e o gás se comporta idealmente, vale a lei dos gases para dois estados:
p_i V_i = p_f V_f,
onde:
  • p_i e V_i são pressão e volume iniciais,
  • p_f e V_f são pressão e volume finais.
  • Essa relação diz que, mantendo a temperatura, pressão e volume variam inversamente.

Passo 4

Aplicar a relação isotérmica ao dado do aumento de volume:
  • O enunciado deu V_f=1,4\,V_i. Substituindo em p_i V_i = p_f V_f obtemos
p_i V_i = p_f (1,4\,V_i)\quad\Rightarrow\quad p_i = 1,4\,p_f.
  • Como p_f é a pressão na superfície, temos p_f=p_{\text{atm}}. Então
p_i = 1,4\,p_{\text{atm}}.

Passo 5

Relacionar a expressão do Passo 4 com a pressão hidrostática do Passo 2 e resolver para p_{\text{atm}}:
  • Do Passo 2: p_i = p_{\text{atm}}+\rho g h.
  • Do Passo 4: p_i = 1,4\,p_{\text{atm}}.
  • Igualando:
1,4\,p_{\text{atm}} = p_{\text{atm}} + \rho g h.
  • Subtraindo p_{\text{atm}} dos dois lados:
0,4\,p_{\text{atm}} = \rho g h.
  • Isolando p_{\text{atm}}:
p_{\text{atm}} = \frac{\rho g h}{0,4} = 2{,}5\,\rho g h.

Passo 6

Substituir os números para encontrar p_{\text{atm}} e as pressões inicial e final:
  • Calcular \rho g h:
\rho g h = (1{,}0\times10^{3})\cdot 10 \cdot 2{,}0 = 2{,}0\times10^{4}\\ \mathrm{N/m^{2}}.
  • Então
p_{\text{atm}} = 2{,}5\cdot 2{,}0\times10^{4} = 5{,}0\times10^{4}\\ \mathrm{N/m^{2}}.
  • Pressão inicial na profundidade 2{,}0\\ \mathrm{m}:
p_i = p_{\text{atm}} + \rho g h = 5{,}0\times10^{4} + 2{,}0\times10^{4} = 7{,}0\times10^{4}\\ \mathrm{N/m^{2}}.
  • Pressão final na superfície:
p_f = p_{\text{atm}} = 5{,}0\times10^{4}\\ \mathrm{N/m^{2}}.

Passo 7

Calcular a variação da pressão do ar dentro da bolha durante a subida:
  • Definindo a variação como \Delta p = p_f - p_i, obtemos
\Delta p = 5{,}0\times10^{4} - 7{,}0\times10^{4} = -2{,}0\times10^{4}\\ \mathrm{N/m^{2}}.
  • Interpretação: a pressão dentro da bolha diminui; o módulo da diminuição é 2{,}0\times10^{4}\\ \mathrm{N/m^{2}}.

Resposta

(a) \Delta p = -2{,}0\times10^{4}\\ \mathrm{N/m^{2}} (ou seja, diminui em 2{,}0\times10^{4}\\ \mathrm{N/m^{2}}).
(b) p_{\text{atm}} = 5{,}0\times10^{4}\\ \mathrm{N/m^{2}}.

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