Num laboratório encontrou-se um termômetro de toluol. A grandeza termométrica é a altura da coluna líquida no interior do capilar. Um estudante, ao aferir o termômetro, encontrou as relações abaixo tabeladas.
θ (°C) h (cm)
0 4
100 14
a) Escreva uma equação termométrica, da temperatura \theta em função da altura h.

Passo 1

O enunciado fornece duas medições (peguei estes valores da tabela fornecida):
  • \theta=0^\circ\text{C} corresponde a h=4\\ \text{cm}.
  • \theta=100^\circ\text{C} corresponde a h=14\\ \text{cm}.
O que a parte (a) pede: escrever uma equação termométrica que dê a temperatura \theta em função da altura h.

Passo 2

Vamos assumir que a relação entre a temperatura \theta e a grandeza termométrica h seja linear — isto é comum em calibração de termômetros. A forma geral de uma relação linear é
\theta = a\,h + b,
onde:
  • a é a inclinação (quanto a temperatura varia por unidade de h; unidades: ^\circ\text{C}/\text{cm}),
  • b é o coeficiente linear (valor de \theta quando h=0; unidades: ^\circ\text{C}).
Nossa tarefa é determinar os números a e b usando os dois pontos de calibração fornecidos.

Passo 3

Para achar a (a inclinação) usamos a fórmula da taxa de variação entre dois pontos:
a=\frac{\theta_2-\theta_1}{h_2-h_1}.
Substituindo os valores dados:
\theta_2-\theta_1 = 100^\circ\text{C}-0^\circ\text{C}=100^\circ\text{C},
h_2-h_1 = 14\\ \text{cm}-4\\ \text{cm}=10\\ \text{cm},
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a=\frac{100^\circ\text{C}}{10\\ \text{cm}}=10\\ \frac{^\circ\text{C}}{\text{cm}}.

Passo 4

Agora usamos um dos pontos para achar b. Usando \theta_1=0^\circ\text{C} e h_1=4\\ \text{cm} na equação \theta=a h + b:
0^\circ\text{C} = 10\cdot 4\\ \text{(}^\circ\text{C}\text{/cm}\text{)} + b.
Calculando 10\cdot 4 = 40, obtemos
b = 0^\circ\text{C} - 40^\circ\text{C} = -40^\circ\text{C}.

Passo 5

Verificação rápida com o segundo ponto: colocando h=14\\ \text{cm} e a=10, b=-40 obtém-se
\theta = 10\cdot 14 - 40 = 140 - 40 = 100^\circ\text{C},
que coincide com o ponto de calibração \theta=100^\circ\text{C}. Coeficientes consistentes.

Resposta

\theta = 10\,h - 40

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