(FUVEST-SP) Considere o experimento que consiste no lançamento de um dado perfeito (todas as seis fases têm probabilidades iguais). Com
relação a esse experimento considere os seguintes eventos:
I - O resultado do lançamento é par.
II - O resultado do lançamento é estritamente maior do que 4.
III - O resultado é múltiplo de 3.
a) I e II são eventos independentes?
b) II e III são eventos independentes?
Justifique suas respostas.

Passo 1

O enunciado considera o lançamento de um dado perfeito com seis faces igualmente prováveis e define os eventos:
I – resultado par E=\{2,4,6\},
II – resultado estritamente maior que 4 F=\{5,6\},
III – resultado múltiplo de 3 G=\{3,6\}.
Dois eventos A e B são independentes se, e somente se,
P(A\cap B)=P(A)\,P(B).

Passo 2

Calcular as probabilidades individuais: P(I)=P(E)=\dfrac{3}{6}=\tfrac12, P(II)=P(F)=\dfrac{2}{6}=\tfrac13, P(III)=P(G)=\dfrac{2}{6}=\tfrac13.

Passo 3

Determinar P(I\cap II). I\cap II=E\cap F=\{6\}, logo
P(I\cap II)=\frac{1}{6}.
Como
P(I)\,P(II)=\frac12\cdot\frac13=\frac{1}{6},
temos P(I\cap II)=P(I)\,P(II), portanto I e II são independentes.

Passo 4

Determinar P(II\cap III). II\cap III=F\cap G=\{6\}, logo
P(II\cap III)=\frac{1}{6}.
Mas
P(II)\,P(III)=\frac13\cdot\frac13=\frac{1}{9}\neq\frac{1}{6},
logo P(II\cap III)\neq P(II)\,P(III), de modo que II e III não são independentes.

Resposta

a) Sim, I e II são independentes.
b) Não, II e III não são independentes.

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